Курс "Тригонометрия"
Синус, косинус и тангенс угла часто объединяют под одним общим наименованием – тригонометрические функции угла.
1. Как мы уже знаем, в случае острого угла α выполнены равенства:
, ,
Оказывается, что эти соотношения остаются справедливыми и для любого угла α (кроме тех случаев, когда знаменатель одной из дробей обращается в нуль). Однако использование этих формул в случае произвольного угла α несколько отличается от случая острого угла α.
Если некоторую тригонометрическую функцию требуется выразить из формулы, которая содержит квадрат этой функции, то нужно учитывать, что эта функция может принимать как положительные, так и отрицательные значения, в зависимости от того, углом какой четверти является угол.
Пример 1.
Вычислим tan α, если cos α = –0,4 и α – угол второй четверти.
Из третьей основной формулы получим, что
Так как для угла II четверти tan α < 0, то
Пример 2.
Вычислим sin α, если cos α = –0,3162.
Так как cos α < 0, то угол α принадлежит либо II, либо III четверти. В случае II четверти sin α > 0, а в случае III четверти sin α < 0.
Значит,
Ответ: если 90° < α < 180°, то sin α ≈ 0,9487; если 180° < α < 270°, то sin α = –0,9487.
2. Если угол α – острый, то для тригонометрических функций имеют место формулы дополнительного угла (связывающие углы α и 90° – α):
, , .
Оказывается, что эти формулы справедливы и в том случае, когда α не является острым углом.
Пример 3.
Упростим выражение cos (45°+ α) –sin (45°– α).
Так как (45°+ α) + (45° – α) = 90°, то
cos (45°+ α) = sin (90°– (45° + α)) = sin (45° – α) и
cos (45°+ α) – sin (45°– α) = sin (45°– α) – sin (45°– α) = 0.
sin α | 0,4024 | –0,4000 | 0,4648 | |
cos α | 0,9152 | 0,9165 | –0,5650 | |
tan α | –0,5250 | –1,4603 |
sin 15° = cos
sin 49° = cos
cos 3° = sin
cos 19° = sin
cos 58° = sin
