Курс "Тригонометрия"
Формулами приведения в тригонометрии называют формулы, позволяющие сводить вычисление значений синуса, косинуса и тангенса:
- для углов, бóльших 360, к нахождению таких значений для углов 0° ≤ α < 360° или
- для отрицательного угла (–α) к нахождению значений этих функций для соответствующего положительного угла (α).
1. Эти формулы нам, по существу, уже знакомы:
sin (α + n · 360°) = sin α,
cos (α + n · 360°) = cos α,
tan (α + n · 360°) = tan α, где n ∈ Z.
Пример 1.
Приведем вычисление tan 400° к вычислению тангенса меньшего угла.
Получим: tan 400° = tan (40° + 360°) = tan 40° ≈ 0,8391.
Ответ: tan 400° ≈ 0,8391
В случае данного примера tan 400° можно было бы сразу вычислить и на калькуляторе. Но, например, значение sin 1662° на калькуляторе уже вычислить нельзя, так как при слишком большом угле калькулятор выдает сообщение об ошибке.
Пример 2.
Найдем sin 1662°.
Так как 1662° = 222° + 4 · 360°, то sin 1662° = sin (222° + 4 · 360°) = sin 222°, что можно вычислить уже и на калькуляторе. Получим sin 222° ≈ –0,6691.
Ответ: sin 1662° ≈ –0,6691.
Пример 3.
Вычислим cos (−5015°).
Имеем: −5015° = −335° − 13 · 360° = 360° − 335° − 14 · 360° = 25° − 14 · 360°.
Следовательно, cos (−5015°) = cos (25° − 14 · 360°) = cos 25° ≈ 0,9063.
Можно было вычислить и по-другому.
Поскольку −5015° = −335° − 13 · 360°, то cos (−5015°) = cos (−335° − 13 · 360°) = cos (−335°). Найдем на калькуляторе значение косинуса отрицательного угла –335° и получим приблизительно 0,9063.
Ответ: cos (−5015°) ≈ 0,9063.
Пример 4.
Не вычисляя угла α, найдем cos α и tan α, если известно, что sin α = 0,4 и α – угол второй четверти.
Из формулы sin2 α + cos2 α = 1 получим, что cos2 α = 1 − 0,42, или cos2 α = 0,84.
Так как во второй четверти косинус угла отрицателен, то
Ответ: cos α ≈ −0,9165; tan α ≈ −0,4364.
sin α | –0,8 | ||
cos α | 0,25 | ||
tan α | –3,873 |
sin α | –0,49 | ||
cos α | –0,604 | ||
tan α | 7 |
2. Следующие формулы позволяют свести вычисление синуса, косинуса и тангенса отрицательного угла к вычислению этих величин для положительного угла:
sin (–α) = –sin α, cos (–α) = cos α, tan (–α) = –tan α.
Эти формулы справедливы независимо от того, что является углом –α.
Пример 5.
Из формулы tan (–α) = –tan α получим, что
tan (−78°34') = −tan 78°34' ≈ −4,945.
Пример 6.
Найдем sin (−920°).
Сделаем это разными способами.
- sin (−920°) = −sin 920° = −sin (200° + 2 · 360°) = −sin 200° ≈ − (−0,3420) = 0,3420.
- Прибавим к углу –920° угол 3 · 360°, т. е. угол 1080°.
Тогда sin (−920°) = sin (−920° + 1080°) = sin 160° ≈ 0,3420. - Значение sin (–920°) можно найти и с помощью калькулятора.
