Радианная мера угла

Курс "Тригонометрия"

Для измерения углов пользуются тремя различными системами единиц измерения. Из них в повседневной жизни наиболее употребительна градусная система. С сотенной (или центезимальной) системой измерения углов мы уже встречались в примечании к параграфу 8.4.

Познакомимся теперь с радианной системой измерения углов. В этой системе единицей измерения является радиан.

Радианом называется центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу.

Угол, равный 1 радиану (рис. 2.38) обозначается 1 рад (или 1 радиан), причем наименование единицы, т. е. рад, зачастую не пишут. Например, можно записать либо α = 2 рад, либо α = 2.

Рис. 2.38
Рис. 2.39

На окружности дуга, длина которой равна радиусу, помещается 2π ≈ 6,28 раза (рис. 2.39). Следовательно, полный угол равен 2π рад. В градусной мере полный угол равен 360°. Таким образом, 360° = 2π рад, или

180° = π рад.

Это равенство позволяет переводить градусную меру угла в радианную и обратно.

Пример 1.

Найдем радианную меру углов –192° и 17°11′.

Так как 180° = π рад, то 1\degree=\frac{\pi}{180}\ \mathrm{рад}. Угол –192° получится умножением на –192, т. е.
-192\degree=-192\cdot\frac{\pi}{180}\ \mathrm{рад} = -\frac{16\pi}{15}\ рад ≈ -3,3510\ \mathrm{рад}.

Угол 17°11′ нужно сначала перевести в градусы и уже затем – в радианы:

17°11' = 17° + (11 : 60)° ≈ 17° + 0,1833° = 17,1833°.

17°11' ≈ 17,1833\cdot\frac{\pi}{180}\ рад ≈ 0,0955π рад ≈ 0,2999 рад.

Ответ: –192° = \frac{16\pi}{15}\ рад ≈ –3,3510 рад; 17°11' ≈ 0,0955π рад ≈ 0,2999 рад.

Пример 2.

Найдем градусные меры углов \frac{\pi}{12}\ \mathrm{рад} и 1,8 рад.

Так как π рад = 180°, то 1\ рад=\frac{180\degree}{\pi}. Следовательно,

\frac{\pi}{12}\ \mathrm{рад} = \frac{\pi}{12}\cdot\frac{180\degree}{\pi} = 15°; 1,8 рад = 1,8\cdot\frac{180\degree}{\pi} ≈ 103,1324° ≈ 103°8'.

Ответ: \frac{\pi}{12}\ рад=15°; 1,8 рад = 103°8'.

Из соотношения 180° = π рад получим, что 1 рад ≈ 57°18′.

Следует запомнить соотношения между градусными и радианными мерами некоторых наиболее часто встречающихся углов.

Некоторые калькуляторы имеют специальную клавишу для перевода из градусной меры в радианную: α° → rad, DEG → RAD, D.R.G или D.R.G > (в случае двух последних клавиш – и для дальнейшего перевода в центезимальную систему, а затем опять в градусную меру). Для перевода из радианной меры в градусную служат клавиши rad → α° или RAD → DEG.

Синус, косинус и тангенс угла, заданного в радианной мере, можно найти следующим способом. Калькулятор нужно прежде всего установить в режим работы с радианной мерой. Для перевода в этот режим калькулятор имеет переключатель или клавишу с обозначением R или RAD. Один из этих символов обычно высвечивается и на экране. При наличии клавиши DRG происходит переход из градусной меры в радианную. Если же для этого используется изменяющая режим работы калькулятора клавиша MODE, то эту клавишу нужно применять одновременно с какой-нибудь совсем другой клавишей. Например, на некоторых калькуляторах нажатия MODE 5 переводят в радианную меру.

Перед тем, как нажать одну из клавиш sin, cos или tan, нужно заданный в радианной мере угол ввести в калькулятор в виде обычного числа.

Пример 3.

Вычислим sin 2,6 и \cos\frac{\pi}{7}.

Переведя калькулятор в режим работы в радианах, действуем так:

2,6 sin   и   π ÷ 7 = cos.

Ответ: sin 2,6 ≈ 0,5155; \cos\frac{\pi}{7}\approx0,9010.

На новейших калькуляторах часто нужно нажимать на клавиши в том порядке, в каком записывается соответствующее выражение. Например, вычисление sin α вводится в следующем порядке: sinα, ENTER (или =).

36° ≈  рад

36°10' ≈  рад

–66°12' ≈  рад

66° ≈  рад

79°48' ≈  рад

–75° ≈  рад

8,5° ≈  рад

226°19' ≈  рад

0° =  рад

30° =  рад

45° =  рад

60° =  рад

90° =  рад

180° =  рад

270° =  рад

360° =  рад

–30° =  рад

–45° =  рад

12° = 

75° = 

135° = 

–46° = 

–42,5° = 

40° = 

28° = 

240° = 

–98° = 

93,06° = 

2\pi= 

\frac{\pi}{4}= 

\frac{3\pi}{2}= 

\frac{\pi}{6}= 

\frac{\pi}{2}= 

\frac{\pi}{5}= 

\frac{\pi}{3}= 

\frac{2\pi}{3}= 

\frac{3\pi}{4}= 

\frac{2\pi}{15}= 

-\frac{3\pi}{5}= 

-\frac{\pi}{100}= 

-\frac{\pi}{6}= 

-\frac{7\pi}{36}= 

-\frac{\pi}{3}= 

\frac{10\pi}{3}= 

2,01 = 

0,08 = 

–3,14 = 

0,75 = 

1,58 = 

–6,4 = 

\sin\frac{\pi}{6} = 

\cos\frac{\pi}{3} = 

\tan\frac{\pi}{4} = 

\sin\pi = 

\sin\frac{\pi}{10} = 

\cos\frac{2\pi}{9} = 

\tan\frac{2\pi}{5} = 

\cos\frac{4\pi}{15} = 

\sin1,5 = 

\cos0,01 = 

\tan0,4 = 

\tan1,3 = 

\sin1,21 = 

\cos1,65 = 

\tan0,08 = 

\sin3,15 = 

\left(\sin\frac{\pi}{4}-\cos\frac{\pi}{2}+\tan\frac{\pi}{4}\right):\left(\sin\frac{\pi}{2}+2\sin\frac{\pi}{6}\right)=  ≈ 

\sin\frac{\pi}{4}\cdot\left(\cos\frac{\pi}{4}+\cos\frac{\pi}{6}\right):\left(\tan\frac{\pi}{4}-\sin\frac{\pi}{3}\cdot\cos\frac{\pi}{6}\right)=  ≈ 

\sin^2\frac{\pi}{25}+\cos^2\frac{\pi}{25}=  = 

\cos\frac{2\pi}{15}\left(1+\tan\frac{2\pi}{15}\right)=  ≈ 

\sin\frac{\pi}{8}:\cos\frac{\pi}{8}=  ≈ 

\cos^2\frac{8\pi}{30}\left(1+\tan^2\frac{4\pi}{15}\right)=  = 

sin2 0,82 + 2,3 + cos2 0,82 =  = 

sin 0,3 tan 0,3 + cos 0,3 =  = 

sin2 1,4(1 + tan2 1,4) =  = 

(1 + tan2 0,9)cos 0,9 =  = 

4° = 

14°18' = 

25°37' = 

–50°42' = 

80° = 

76°6' = 

48°15' = 

–22°32' = 

1' = 

25' = 

0,192 = 

0,5009 = 

4 = 

0,4108 = 

1,479 = 

7,56 = 

–1,3012 = 

–0,7777 = 

–16,07 = 

Ответ: третий угол треугольника равен  рад.

Ответ: углы треугольника равны соответственно  рад,  рад и  рад.

\sin\frac{2\pi}{3} =  ≈ 

\cos\frac{3\pi}{4} =  ≈ 

\tan\frac{5\pi}{6} =  ≈ 

\tan\frac{11\pi}{12} ≈ 

\sin\frac{7\pi}{12} ≈ 

\cos\frac{3\pi}{5} ≈ 

\cos\frac{13\pi}{18} ≈ 

\tan\frac{23\pi}{24} ≈ 

\sin\frac{27\pi}{32} ≈ 

\sin\frac{7\pi}{3} =  ≈ 

\cos\frac{25\pi}{6} =  ≈ 

\tan\frac{25\pi}{4} = 

sin α = 0,9854
α =  рад

cos α = 0,5487
α =  рад

tan α = −0,7854
α =  рад

sin α = –0,9975
α =  рад

cos α = 0,5403
α =  рад

tan α = 5
α =  рад

a = 12, b = 5

Ответ: α =  рад, β =  рад, γ =  рад.

a = 12, c = 15

Ответ: α =  рад, β =  рад, γ =  рад.

b = 7, c=\sqrt{58}

Ответ: α =  рад, β =  рад, γ =  рад.

a = b = 6

Ответ: α =  рад, β =  рад, γ =  рад.

Seotud sisu
Muud tegevused