Курс "Тригонометрия"
Как мы уже знаем, для каждого действительного числа x (радианной меры угла) существует в точности одно значение sin x. Обозначим это значение буквой y, т. е. y = sin x. Рассматривая величину х как переменную, мы получаем, что равенство y = sin x каждому действительному числу х ставит в соответствие единственное число у, другими словами, это равенство определяет функцию, которая называется функцией синус.
Рассмотрим график функции синус. Переменную х в равенстве y = sin x будем рассматривать как абсциссу точки координатной плоскости, а соответствующее значение у – как ординату. График функции образуют все такие точки (х; у), для которых y = sin x. Так как sin (x + n · 2π) = sin x, где n ∈ Z, то значения функции синус повторяются через каждый промежуток длиной 2π. Поэтому график функции y = sin x достаточно построить только на некотором отрезке длиной 2π, например, на отрезке [0; 2π], а затем продолжить его («скопировать») на протяжении всей числовой оси.
На отрезке [0; 2π] график функции можно построить по отдельным точкам, пользуясь при вычислениях калькулятором. Конечно, гораздо проще задать построение графика компьютеру или графическому калькулятору. В результате получается график функции y = sin x – это линия (рис. 2.40), которая называется синусоидой.
Поскольку значения функции синус повторяются через каждый промежуток длиной 2π, то говорят, что
функция синус является периодической с периодом 2π.
С помощью графика можно описать свойства функции синус.
- Наименьшее значение функции синус равно −1, а наибольшее равно 1, т. е. −1 ≤ sin x ≤ 1. Эти значения повторяются через каждые 2π как в положительном, так и в отрицательном направлении оси Ох, начиная, например, со значения аргумента
x=-\frac{\pi}{2} или со значенияx=\frac{\pi}{2} . - График функции синус пересекает ось Ох через каждые π, начиная со значения аргумента х = 0, т. е. в точках x = nπ, где n ∈ Z. Эти точки являются нулями функции синус, поскольку в них у = 0, или sin x = 0.
С помощью графика функции синус можно решать многие из тех задач, которые мы ранее решали с помощью вычислений.
Пример 1.
Положительным или отрицательным является значение функции синус: 1) sin 3, 2)
- Так как 0 < 3 < π и на графике видно, что в этом интервале график расположен выше оси Ох, то sin 3 > 0;
\sin\frac{6\pi}{5}<0 , поскольку угол\frac{6\pi}{5} принадлежит интервалу [π; 2π], в котором график функции y = sin x расположен ниже оси Ох, т. е. значения функции отрицательны.- sin (−0,8) < 0, так как значение x = −0,8 принадлежит интервалу [−π; 0], в котором значения функции синус отрицательны.
Пример 2.
Какое значение больше: 1) sin (−1,2π) или sin 6; 2) sin 0,8 или sin 1,3?
- sin (−1,2π) > sin 6, так как на графике функции синус видно, что sin (−1,2π) > 0, a sin 6 < 0;
- sin 1,3 > sin 0,8, поскольку точка графика функции синус, соответствующая значению x = 1,3, расположена выше (значение функции больше) точки графика, соответствующей значению x = 0,8.
sin 1 0
sin (–6) 0
sin 4 0
sin 0 0
sin 6 или sin 7 | Меньше значение . |
sin (–1,5π) или sin (–1,9π) | Меньше значение . |
sin 3 или sin 4 | Меньше значение . |
