Функция y = tan x

Курс "Тригонометрия"

Функцией тангенс называется функция, определенная равенством y = tan x, где x – действительное число (радианная мера угла), причем x\ne\left(2n+1\right)\cdot\frac{\pi}{2}, где n ∈ Z. Ограничение x\ne\left(2n+1\right)\cdot\frac{\pi}{2}, n ∈ Z, вызвано тем, что в этих точках значение тангенса не существуют, т. е. график функции тангенс (cм. рис. 2.42) имеет разрывы при значениях х

…, -\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, …

Как мы знаем, выполнено соотношение tan (x + n ⋅ π) = tan x, где х – величина угла х в радианах. Отсюда следует, что значения функции тангенс повторяются через каждые π. Значит,

Учитывая сказанное, мы можем построить график функции тангенс на промежутке длиной π, например, в интервале \left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right), а затем повторить этот график на всей области определения. В результате мы получим тангенсоиду, которая изображена на рисунке 2.42. Особенностью тангенсоиды является то, что при приближении значений аргумента х к точкам \left(2n+1\right)\cdot\frac{\pi}{2}, n ∈ Z, график функции неограниченно приближается к прямым, перпендикулярным оси Ох (на рисунке они изображены пунктиром), никогда не пересекая этих прямых.

График функции тангенс позволяет описать свойства этой функции.

1. Функция тангенс не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений. Она принимает все возможные действительные значения, что записывается в виде: −∞ < tan x < +∞.
2. Нули функции тангенс (т. е. точки, или значения х, при которых tan x = 0) повторяются через каждый промежуток длиной π и в общем виде выражаются как x = nπ, n ∈ Z.