Длина дуги окружности

Курс "Тригонометрия"

Вычислим длину дуги АВ окружности (рис. 2.43), если соответствующий ей центральный угол α выражен в градусах и радиус окружности равен r.

Рис. 2.43

Так как длина окружности равна 2πr и полный угол составляет 360°, то центральному углу в 1° соответствует дуга окружности длиной \frac{2\pi r}{360}, или \frac{\pi r}{180}. Следовательно, если градусная мера центрального угла равна α, то соответствующая дуга АВ в α раз длиннее, т. е. AB=\mathrm{\alpha}\cdot\frac{\pi r}{180}=\frac{\mathrm{\alpha}\pi r}{180}.

Пример 1.

На рисунке 2.44 изображена ременная передача. Приводной ремень прилегает к большому колесу вдоль дуги АВ, которой соответствует центральный угол α = 200°. Найдем длину дуги АВ, если радиус большого колеса R = 45 см.

Рис. 2.44

Длина окружности большого колеса C = 2 ⋅ π ⋅ 45 = 90π (см). Так как полный угол равен 360°, то центральному углу в 1° соответствует дуга \frac{90\pi}{360}=\frac{\pi}{4}\mathrm{\ \left(см\right)}, а центральному углу в 200° – дуга 200\cdot\frac{\pi}{4}=50\pi\approx157,1\ \mathrm{\left(см\right)}.

Ответ: приводной ремень прилегает к большому колесу вдоль дуги АВ ≈ 157,1 см.

Выясним теперь, как вычислить длину дуги, если соответствующий ей центральный угол х выражен в радианах.

Пусть радиус рассматриваемой дуги равен r, и этой дуге соответствует центральный угол в x радиан. Поскольку центральному углу в 1 радиан соответствует дуга длиной r (рис. 2.38), то центральному углу в x радиан соответствует дуга длиной xr.

Следовательно, искомая длина дуги l выражается равенством

l = xr.

Пример 2.

Если радиус окружности равен 5 cм и соответствующий дуге центральный угол равен 2,8 рад, то длина этой дуги l = 2,8 · 5 = 14 (см).

Центральный угол

Длина дуги, соответствующей центральному углу

Часы ратуши в Вильянди

Часы башни Биг Бен

1°

 см

 см

1'

 мм

 см

Центральный угол

Длина дуги 

46°

 см

105°

 см

54°12'

 см

270°

 см

30'

 см

315°

 см

Радиус

4 см

50 м

40 см

100 м

90 м

Длина дуги

 см

 м

 см

 м

 м

Ответ: результат Кантера был  м.

α = 2°

α = 1°

α = 1'

α = 0,1 rрад

α = 0,001π рад

На расстоянии м

На расстоянии м

На расстоянии м

На расстоянии см

На расстоянии м

Центральный угол

1°

1'

Расстояние, пройденное Луной

 км

 км

Сравните длину дуги орбиты, соответствующей центральному углу в 1°, с диаметром Луны, составляющим 3476 км.

Рис. 2.45

Ответ: наибольшее расстояние на земной поверхности, которое мог наблюдать космонавт Юрий Гагарин, составляло  км.

Рис. 2.46

Ответ: новая дорога на  м короче.

Seotud sisu
Muud tegevused