Площадь сектора

Курс "Тригонометрия"
Рис. 2.47

Сектором круга, или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, проведенными к концам дуги. На рисунке 2.47 два сектора OAB: один из них ограничен непрерывной дугой АВ (этот сектор закрашен), а другой – пунктирной дугой. Углом сектора является соответствующий центральный угол. Выразим площадь сектора через его угол и радиус круга.

Пусть радиус сектора равен r, а его угол α градусов. Так как площадь круга равна πr2, то площадь сектора с углом 1° равна \frac{\pi r^2}{360}, а если угол сектора составляет α градусов, то площадь такого сектора в α раз больше, т. е. S=\frac{\mathrm{\alpha}\pi r^2}{360}.

Пример 1.

Найдем площадь сектора с центральным углом 65°15', если радиус r = 8 cм.

Выразим данный угол в градусах: 65°15' = 65,25°. Полный угол составляет 360°, следовательно, площадь S1 сектора с углом в 1° в 360 раз меньше площади круга:

S_1=\frac{\pi r^2}{360}=\frac{64\pi}{360}=\frac{8\pi}{45} (cм2).

Так как угол сектора равен 65,25°, то искомая площадь

S = 65,25 · S1 = 65,25\cdot\frac{8\pi}{45} = 11,6π ≈ 36,4 (см2).

Выведем формулу для вычисления площади сектора с углом в х радиан и радиусом r.

Так как полный угол равен 2π рад, то площадь сектора с центральным углом в 1 рад равна S_1=\frac{\pi r^2}{2\pi}=\frac{r^2}{2}, а искомая площадь сектора с углом в х рад равна S=x\cdot S_1=x\cdot\frac{r^2}{2}, т. е.

S=xr22.

Пример 2.

Найдем площадь сектора, если его угол x = 0,8 рад и радиус r = 5 cм.

По формуле получим: S=\frac{xr^2}{2}=\frac{0,8\cdot25}{2}=10\ \left(\mathrm{см^2}\right).

Площадь сектора можно выразить и через длину соответствующей дуги: S=\frac{xr^2}{2}=\frac{\left(xr\right)r}{2}=\frac{lr}{2}, т. е.

S=rl2.

Пример 3.

Вычислим площадь сектора с радиусом 8 см, если длина ограничивающей его дуги равна 10 см. На основании формулы

S=\frac{8\cdot10}{2}=40\ \left(\mathrm{\mathrm{см^2}}\right).

Рис. 2.48.1

Ответ: S =  см2; l =  см.

Рис. 2.48.2

Ответ: S =  см2; l =  см.

Рис. 2.48.3

Ответ: S =  дм2; l =  дм.

Рис. 2.48.4

Ответ: S =  см2; l =  см.

Рис. 2.48.5

Ответ: S =  см2; l =  см.

Угол сектора

Площадь сектора

30°

 см2

100°

 см2

30°15'

 см2

2°8'

 см2

Угол сектора

Площадь сектора

4

 см2

0,3

 см2

0,011

 см2

1,5

 см2

Угол сектора

Площадь сектора

\frac{\pi}{9}

 см2

\frac{7\pi}{18}

 см2

\frac{4\pi}{5}

 см2

\frac{\pi}{4}

 см2

№

α

r

l

S

1.

240°

4

2.

8

3,84

3.

18°

31,4

4.

1,2 рад

15

5.

48°

12

6.

0,52 рад

2,6

Seotud sisu
Muud tegevused