Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Курс „Векторы на плоскости. Уравнение линии"

Сущность метода координат заключается в том, что каждой точке плоскости ставится в соответствие пара действительных чисел. Выясним теперь алгебраическое описание линии, расположенной на плоскости.

Начнем с изучения наиболее известной линии – прямой.

Рис. 3.45

1. Задача на нахождение уравнения прямой. Как мы убедились на материале для повторения (см. раздел 3.1.1, пример 7), для некоторых прямых легко выяснить и записать то общее свойство, которым обладают все точки данной прямой. Например, если прямая s1 перпендикулярна оси Оу и пересекает ее в точке 5 (рис. 3.45), то общее свойство всех точек этой прямой заключается в том, что их ординаты равны 5. Это свойство кратко записывается в виде равенства у = 5. Последнее равенство и называется уравнением этой прямой. Другими словами, все точки прямой s1 записываются в виде M(х; 5). Этим свойством обладают исключительно точки прямой s1, а вне этой прямой нет ни одной точки, ордината которой равна 5.

На том же рисунке изображена прямая s2 – биссектриса координатных углов II и IV четвертей. Любая точка этой прямой равноудалена от сторон углов, т. е. от координатных осей. Поэтому координаты х и у любой точки М данной прямой должны удовлетворять соотношению \left|y\right|=\left|x\right|. Так как во II и IV четвертях координаты любой точки имеют разные знаки (рассмотрите, например, точки А и В), то все точки прямой s2 обладают общим свойством – их координаты х и у удовлетворяют равенству у = –х. Это равенство и является уравнением прямой s2.

Мы получили общее представление об уравнении прямой. Уравнение должно содержать координаты х и у произвольной точки прямой или хотя бы одну из этих координат. При этом уравнению удовлетворяют координаты любой точки данной прямой, и любая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению, принадлежит данной прямой.

Каждая прямая имеет уравнение, в том числе и координатные оси Ох и Оу. Уравнением оси Ох является у = 0, а уравнением оси Оу будет х = 0, так как такими свойствами обладают все точки этих осей и только такие точки.

Если по данным относительно прямой можно построить единственную прямую на координатной плоскости, то по этим данным можно найти и уравнение прямой.

Ниже мы рассмотрим различные способы задания прямой и составим соответствующие уравнения. Начнем со случая, в котором у нас есть уже некоторый опыт и мы знаем, что такими условиями прямая определена однозначно.

2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Через две различные точки можно провести одну и только одну прямую. Поэтому две заданные точки однозначно определяют прямую, и можно составить ее уравнение.

Пример 1.

Даны точки A(5; –8), и B(–3; 0). Проведем через эти точки прямую (рис. 3.46, а) и найдем уравнение этой прямой.

Рис. 3.46, a

Пусть M(x; y) – произвольная точка прямой АВ. Рассмотрим два вектора \overrightarrow{AB} (или \overrightarrow{BA}) и \overrightarrow{AM} (или \overrightarrow{BM}):

\overrightarrow{AB}=\left(-3-5;\ 0+8\right)=\left(-8;\ 8\right),

\overrightarrow{AM}=\left(x-5;\ y+8\right).

Так как эти векторы коллинеарны, то по условию коллинеарности двух векторов получим:

\frac{x-5}{-8}=\frac{y+8}{8}.

Полученное уравнение и является уравнением прямой AB, которому мы придадим более простой вид:

8\left(x-5\right)=-8\left(y+8\right) ⇒ x-5=-y-8 ⇒ x+y+3=0

или, выразив ординату, y=-x-3.

Ответ: уравнение прямой x+y+3=0 или y=-x-3.

Повторим эти рассуждения в общем случае, т. е. выведем уравнение прямой, проходящей через точки A(x1; y1) и B(x2; y2) (рис. 3.46, б).

Рис. 3.46, б

Пусть M(x; y) – произвольная точка прямой. Рассмотрим векторы \overrightarrow{AB}=\left(x_2-x_1;\ y_2-y_1\right) и \overrightarrow{AM}=\left(x-x_1;\ y-y_1\right). Тогда точка M(x; y) лежит на прямой АВ в том и только том случае, когда векторы \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{AM} коллинеарны, т. е. когда

x - x1x2 - x1=y - y1y2 - y1.

Полученное уравнение и является уравнением прямой, проходящей через заданные точки А и В, при этом х и у являются координатами произвольной точки прямой.

Это уравнение обычно упрощают (см. ответ примера 1), перенеся все члены в левую часть или же выразив переменную y.

Пример 2.

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки P(–7; 4) и Q(–8; –1), и проверим, лежит ли на этой прямой точка A(7; 72).

Зная общий вид искомого уравнения, мы можем сразу записать: \frac{x+7}{-8+7}=\frac{y-4}{-1-4}, откуда после упрощения получим: y = 5x + 39.

Выясним, расположена ли точка A на рассматриваемой прямой: 72 ≠ 5 · 7 + 39. 

Так как координаты точки не удовлетворяют полученному уравнению, то точка A(7; 72) не лежит на прямой y = 5x + 39.

Пример 3.

Прямая s1 задана уравнением 3x – 4y + 5 = 0, а прямая s2 – уравнением 2x + 3y – 8 = 0. Найдем точку пересечения этих прямых.

Пусть искомой точкой является A(x; y). Так как точка А лежит как на прямой s1, так и на прямой s2, то координаты этой точки должны удовлетворять обоим уравнениям. Значит, для нахождения координат точки А нужно решить систему уравнений

3x-4y+5=02x+3y-8=0.

Чтобы получить уравнение с одним неизвестным, умножим первое уравнение на 3, а второе на 4. Получим систему уравнений

9x-12y+15=08x+12y-32=0.

Сложив почленно эти уравнения, получим уравнение 17x – 17 = 0, откуда x = 1. Из первого или второго уравнения системы найдем, что y = 2. Точкой пересечения прямых является A(1; 2).

A(4; 2) и B(3; 1)

Ответ: y = 

R(–5; 4) и T(5; –1)

Ответ:  = 0

M(0; 4) и N(–3; 0)

Ответ:  = 0

P(–5; 5) и Q(2; –2)

Ответ: y = 

Ответ: y = 

y = –3x + 7

2x + 3y – 29 = 0

8x + 5y + 6 = 0

y = 2,5x

  1. оси Ох;
    Ответ: 
  2. оси Оy.
    Ответ: 

Уравнением этой прямой является y = .

Какие из данных точек расположены на данной прямой? Отметьте такие точки.

  • G(1; 5)
  • H(4; −4)
  • K(0,9; 5,3)
  • L(3; 1)
  • M(10; −22)
  • N(−4; 18)

Ответ: вершинами треугольника явяются точки с координатами , , . Длины сторон равны , , .

Seotud sisu
Muud tegevused