Направляющий вектор и угловой коэффициент прямой

Курс „Векторы на плоскости. Уравнение линии"

Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой или расположенный на ней, называется направляющим вектором этой прямой. Прямая имеет бесконечное множество направляющих векторов, которые могут отличаться по длине или быть противоположно направленными. Однако все направляющие векторы прямой коллинеарны. Алгебраически это выражается в том, что любые два направляющих вектора \vec{s_1} и \vec{s_2} рассматриваемой прямой отличаются только числовым коэффициентом, т. е. существует такое число r ≠ 0, что \vec{s_1}=r\vec{s_2}.

Чтобы найти направляющий вектор прямой, достаточно найти какие-нибудь две точки А и В, лежащие на этой прямой. Тогда определенный этими точками вектор \vec{s}=\overrightarrow{AB} и будет одним из направляющих векторов прямой.

Пример 1.

В примере 2 предыдущего параграфа точки P(–7; 4) и Q(–8; –1) определяют не только прямую y = 5x + 39, но и один из направляющих векторов \vec{s}=\overrightarrow{PQ}=\left(-8+7;\ -1-4\right)=\left(-1;\ -5\right) этой прямой.

Найдем еще один направляющий вектор прямой y = 5x + 39. Если x = –6, то из уравнения прямой получим: y = 9. Следовательно, точка A(–6; 9) расположена на данной прямой. Найдем еще какую-нибудь точку прямой: если x = 0, то y = 39, значит точка B(0; 39) лежит на рассматриваемой прямой. Мы получаем новый направляющий вектор \vec{s_1}=\overrightarrow{AB}=\left(6;\ 30\right), при этом векторы  \vec{s} и  \vec{s_1} связаны соотношением \vec{s_1}=-6\vec{s}.

Действительно, -6\vec{s}=-6\cdot\left(-1;\ -5\right)=\left(6;\ 30\right)=\vec{s_1}.

Рис. 3.47

Если две пересекающиеся прямые s и t не перпендикулярны друг другу, то углом между этими прямыми считается острый угол α (рис. 3.47). Угол α между этими прямыми равен углу между направляющими векторами прямых. Если им оказался тупой угол β, то α = 180° – β.

Пример 2.

Прямая s проходит через точки A(–3; –3) и B(2; –1), а прямая t задана уравнением y = 1,5x + 1,5. Найдем угол между этими прямыми.

Найдем направляющий вектор прямой s: \vec{s}=\overrightarrow{AB}=\left(2-\left(-3\right);\ -1-\left(-3\right)\right)=\left(5;\ 2\right).

Для прямой t найдем сначала две точки, расположенные на этой прямой: если x = 3, то y = 6 ⇒ C(3; 6); если x = –5, то y = –6 ⇒ D(–5; –6).

Направляющим вектором прямой t является \vec{t}=\overrightarrow{CD}=\left(-5-3;\ -6-6\right)=\left(-8;\ -12\right). Угол между векторами найдем по формуле \cos\varphi=\frac{\vec{s}\cdot\vec{t}}{\left|\vec{s}\right|\cdot\left|\vec{t}\right|} и получим

\cos\varphi = \frac{\left(5;\ 2\right)\cdot\left(-8;\ -12\right)}{\sqrt{5^2+2^2}\cdot\sqrt{\left(-8\right)^2+\left(-12\right)^2}} = \frac{-64}{\sqrt{29}\cdot\sqrt{208}} ≈ -0,8240.

Так как cos φ < 0, то мы получили тупой угол (угол β на рисунке 3.47). Значит, β ≈ 145°29', а углом между прямыми является острый угол α ≈ 180° – 145°29' = 34°31'.

Угловой коэффициент прямой. На рисунке 3.48 изображены две прямые. Положительный угол α, который прямая образует с положительным направлением оси Ох, называется углом наклона прямой. При этом 0° ≤ α < 180°.

Рис3.48

Если 0° < α < 90°, то говорят, что прямая восходящая (рис. 3.48, а), если 90° < α < 180°, то говорят о нисходящей прямой (рис. 3.48, b).

Величина tan α называется угловым коэффициентом прямой (иногда просто наклоном) и обозначается буквой k.

Угловой коэффициент прямой k = tan α.

Если 0° < α < 90°, то k = tan α > 0, если 90° < α < 180°, то k = tan α < 0, если α = 0°, то k = tan α = 0.​

Восходящая прямая имеет положительный угловой коэффициент, а нисходящая прямая – отрицательный угловой коэффициент.

Пример 3.

Если угол наклона прямой α = 52°, то угловой коэффициент прямой k = tan 52° ≈ 1,28, если же α = 101°32', то угловой коэффициент k = tan 101°32' ≈ –4,90.

Говоря о крутизне спуска или подъема на шоссе, крутизне ската крыши, лестницы, наклоне пола в театральном зале и т. п., мы имеем в виду характеризующий эти величины угловой коэффициент, т. е. величину k = tan α, где α – угол наклона шоссе, ската крыши или лестницы, пола и т. п. к горизонтальной поверхности. На практике этот угол α берется обычно так, что 0° < α < 90°, а значит k > 0.

Сам угол наклона α заменяют величиной k = tan α в основном потому, что угол α зачастую трудно измерить точно (например, угол наклона лестницы). Угловой коэффициент, т. е. tan α, найти совсем нетрудно, если измерить две величины, отношение между которыми равно k = tan α (например, в случае лестницы, отношение высоты ступени b к ее ширине а, рис. 3.49).

Рис. 3.49

Если прямая задана двумя своими точками A(x1; y1) и B(x2; y2) (рис. 3.48), то угловой коэффициент прямой находим по формуле k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. При этом неважно, какая точка считается первой, а какая – второй, так как в случае восходящей прямой числитель и знаменатель рассматриваемой дроби имеют одинаковые знаки и потому k > 0. В случае нисходящей прямой знаки числителя и знаменателя противоположны и потому k < 0, как и должно быть.

Для нахождения углового коэффициента прямой у нас есть две формулы:

k = tan α,    k=y2 - y1x2 - x1,

где α – угол наклона прямой, а точки (x1; y1) и (x2; y2) расположены на рассматриваемой прямой (рис. 3.48) или на прямой, которая параллельна данной.

Пример 4.

Если прямая проходит через точки A(−1; 4) и B(5; 8), то ее угловой коэффициент k=\frac{8-4}{5+1}=\frac{2}{3}.

Так как k > 0, то прямая является восходящей.

Пример 5.

Найдем угловой коэффициент и угол наклона прямой, заданной уравнением y = –2x + 4. Восходящей или нисходящей является эта прямая?

Чтобы воспользоваться формулой, найдем какие-нибудь две точки этой прямой.

Пусть, например, x = 0, тогда из уравнения прямой y = 4, а если x = 5, то y = −6. Мы нашли лежащие на прямой точки A(0; 4) и B(5; −6), откуда по формуле получим:

k=\frac{-6-4}{5-0}=-2.

Так как tan α = –2, то α ≈ 116°34'.

Ответ: k = –2, α ≈ 116°34', прямая является нисходящей.

A(4; 2) и B(3; 1)

Ответ: \vec{s} = 

R(–5; 4) и T(5; –1)

Ответ: \vec{s} = 

M(0; 4) и N(–3; 0)

Ответ: \vec{s} = 

P(–5; 5) и Q(2; –2)

Ответ: \vec{s} = 

A(5; –7) и B(4; –8)

Ответ: k = , α = .

S(0; 8) и T(–4; 0)

Ответ: k = , α = .

K(2,8; –3) и M(4; 3,6)

Ответ: k = , α = .

N(5; –2) и M(–3; –2)

Ответ: k = , α = .

R(–1; 3) и P(–1; 5)

Ответ: k = , α = .

E(–2; 6) и F(6; –2)

Ответ: k = , α = .

  • A(5; –7) и B(4; –8)
  • S(0; 8) и T(–4; 0)
  • K(2,8; –3) и M(4; 3,6)
  • N(5; –2) и M(–3; –2)
  • R(–1; 3) и P(–1; 5)
  • E(–2; 6) и F(6; –2)
  • A(5; –7) и B(4; –8)
  • S(0; 8) и T(–4; 0)
  • K(2,8; –3) и M(4; 3,6)
  • N(5; –2) и M(–3; –2)
  • R(–1; 3) и P(–1; 5)
  • E(–2; 6) и F(6; –2)
Seotud sisu
Muud tegevused