Курс „Векторы на плоскости. Уравнение линии"
Уравнение прямой, проходящей через данную точку и имеющей заданный угловой коэффициент.
Пусть дана некоторая точка A(x1 ; y1) и угловой коэффициент прямой k.
Взяв в качестве одной точки прямой точку А (рис. 3.49), а в качестве другой – произвольную точку М(х; у) искомой прямой, получим из формулы вычисления углового коэффициента прямой, что
y – y1 = k(x – x1).
Пример 1.
Найдем уравнение прямой, проходящей через точку A(9; 0), угол наклона которой к оси Ох равен 30°.
Угловой коэффициент
Прямая, определенная угловым коэффициентом и начальной ординатой.
Начальной ординатой прямой называется ордината точки пересечения этой прямой с осью Оу. Начальную ординату обычно обозначают буквой b (рис. 3.50).
Если даны угловой коэффициент прямой k и ее начальная ордината b, то даны угловой коэффициент k и точка A(0; b) этой прямой. Поэтому мы можем воспользоваться уравнением
y – y1 = k(x – x1).
Учитывая, что х1 = 0 и у1 = b, получим
y – b = k(x – 0),
откуда
y = kx + b.
Полученное уравнение выражает важный факт: если выразить из уравнения прямой величину у, то коэффициент при переменной х будет равен угловому коэффициенту, а свободный член – начальной ординате прямой. Поэтому в примере 5 предыдущего параграфа мы получили, что угловой коэффициент прямой, заданной уравнением у = –2х + 4, равен –2. Теперь мы можем также утверждать, что эта прямая пересекает ось Оу в точке с ординатой 4, т. е. b = 4.
Пример 2.
Если угловой коэффициент прямой k = 2 и начальная ордината b = –3, то уравнением прямой будет y = 2x – 3.
Пример 3.
Найдем угловой коэффициент и начальную ординату прямой 7x – 2y + 6 = 0.
Из данного уравнения получим y = 3,5x + 3, значит, k = 3,5 и b = 3.
Пример 4.
Начертим прямую, заданную уравнением x – 4y + 4 = 0.
Проще всего начертить прямую, зная две ее точки.
Возьмем за абсциссу одной из них x = 0, тогда –4y + 4 = 0, откуда y = 1. Следовательно, одной из искомых точек будет (0; 1).
Возьмем теперь y = 0, тогда x = –4, и второй точкой будет (−4; 0).
Отметим точки (0; 1) и (–4; 0) и проведем через них прямую (рис. 3.51).
 Рис. 3.51 | ||||||
Найдем из уравнения прямой y = kx + b направляющий вектор этой прямой. Для этого найдем две точки A и B данной прямой, тогда направляющим вектором будет
Значит, если известен угловой коэффициент k, то направляющим вектором прямой является
.
Пример 5.
Если угол наклона прямой равен 135°, то
Уравнение прямой | Направляющий вектор |
y = –2x + 3 | (1; |
8x – 4y + 5 = 0 | (1; |
x – y – 2 = 0 | (1; |
Угол наклона | 30° | 120° | 78°42' | 98°8' | 149°2' |
Направляющий вектор | (1; | (1; | (1; | (1; | (1; |
