Sündmuste korrutis ja summa

Kursus „Tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika elemente”

Näide 1.

Visatakse täringut. Olgu sündmus A paarisarvu silmade tulek ja sündmus B vähemalt nelja silma tulek.

Sündmuse A soodsad elementaarsündmused on siis 2, 4 või 6 silma tulek. Sündmuse B korral on aga soodsad juhud 4, 5 või 6 silma tulek. Kui täringu viskamisel tuleb kas 4 või 6 silma on toimunud samaaegselt nii sündmus A kui ka sündmus B. Kuna väljend nii … kui ka … viitab varasema kogemuse põhjal korrutisele, siis öeldaksegi, et kas 4 või 6 silma tulek on sündmuste A ja B korrutis.

Üldiselt:

sündmust, mis seisneb nii sündmuse A kui ka sündmuse B toimumises, nimetatakse sündmuste A ja B korrutiseks.

Kahe sündmuse A ja B samaaegset toimumist võib vaadelda uue sündmusena C, mida nimetatakse sündmuste A ja B korrutiseks ning kirjutatakse C = A ∩ B või C = AB.

Kujutame nüüd sündmusi A ja B geomeetriliselt (joon. 1.6). Kuna meil võrdvõimalikke üksikjuhte (elementaarsündmusi) ei ole tarvis esile tõsta, siis loeme sündmuseks A lihtsalt selle, kui visates punkti (näiteks väga väikese metallist „tolmuterakese”) joonisele, kukub see piirkonda A. Samamoodi kujutame ette, et kui punkt kukkus piirkonda B, siis toimus sündmus B, ja kui punkt kukkus A ja B ühisesse ossa C, siis toimus sündmuste A ja B korrutis A ∩ B.

Joon. 1.6

Näide 2.

Kaardipakist, milles on 36 kaarti, võetakse juhuslikult üks kaart. Olgu sündmuseks A risti saamine ja sündmuseks B pildi saamine. Leiame sündmuste A ja B korrutise tõenäosuse.

Et sündmus AB tähendab ristimastist pildi saamist, siis soodsaid juhte on 3: ristisoldat, ristiemand ja ristikuningas. Otsitav tõenäosus P\left(AB\right)=\frac{3}{36}\approx0,08.

Kui sündmustel A ja B (joon. 1.7) pole ühiseid soodsaid elementaarsündmusi (näiteks sündmus A – paarisarvu silmade tulek, sündmus B – paaritu arvu silmade tulek täringu viskamisel), siis nende sündmuste korrutis on võimatu sündmus (soodsate juhtude arv k = 0). Sümboleis: A ∩ B = V.

Joon. 1.7

Kahte sündmust, mis ei saa sama katse tulemusena toimuda (s.t ei saa esineda üheaegselt), nimetatakse teineteist välistavateks.

Järelikult sündmused A ja B on välistavad, kui nende korrutis on võimatu sündmus, s.t AB = V (joon. 1.7).

Näites 2 ja joonisel 1.6 ei ole sündmused välistavad, need on mittevälistavad.

Sündmus A ja selle vastandsündmus \overline{A} on alati teineteist välistavad, A\overline{A}=V.

Iga sündmuse kõik elementaarsündmused {E₁, E₂, …, E_n} on paarikaupa välistavad. Lühemalt kirjutades E_iE_j = V, kui i ≠ j.

Kahe sündmuse summa defineeritakse järgmiselt:

sündmust, mis seisneb kas sündmuse A või sündmuse B toimumises, nimetatakse sündmuste A ja B summaks.

Sündmuste A ja B summat tähistatakse A ∪ B või A + B.

Sündmuste summat on kujutatud geomeetriliselt (värvitud piirkond) välistavate sündmuste A ja B korral joonisel 1.8 ja mittevälistavate sündmuste A ja B korral joonisel 1.9. Viimasel juhul, nagu näha jooniselt, sisaldab sündmuste summa A + B ka korrutist AB.

Joon. 1.8

Näide 3.

Olgu sündmus A ühe silma tulek ja sündmus B kuue silma tulek täringu viskamisel. Sündmuseks A + B on kas 1 või 6 silma tulek. Vastav tõenäosus P\left(A+B\right)=2\ :\ 6=\frac{1}{3}.

Joon. 1.9

Kuna elementaarsündmuste hulgast {E₁, E₂, …, E_n} tuleb iga katse korral kindlasti esile mingi elementaarsündmus, siis

E₁ + E₂ + … + E_n = U.

Ka sündmuste A ja \overline{A} korral on

A+\overline{A}=U.

Seotud sisu

Ülesanded

AB
AP
\overline{K}
A\overline{K}
KP

B+P
B+L
\overline{L}
K+B
\overline{K}+\overline{L}

AB?
A+B?

AU =

AV =

A + U =

A + V =

Millist tulemust tähendab sündmus

A + B?
B + C?
C + D?
AD?
CD?

p\left(A\right) =	p\left(B\right) =
p\left(K\right) =	p\left(L\right) =
p\left(P\right) =

p\left(AB\right) =	p\left(AP\right) =
p\left(\overline{K}\right) =	p\left(A\overline{K}\right) =
p\left(KP\right) =

p\left(B+P\right) =	p\left(B+L\right) =
p\left(\overline{L}\right) =	p\left(K+B\right) =
p\left(\overline{K}+\overline{L}\right) =

P\left(A\right) =	P\left(D\right) =	P\left(C+D\right) =
P\left(B\right) =	P\left(A+B\right) =	P\left(AD\right) =
P\left(C\right) =	P\left(B+C\right) =	P\left(CD\right) =

Seotud sisu

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Sündmuste korrutis ja summa

Kursus „Tõenäosus­teooria ja matemaatilise statistika elemente”

Seotud sisu

Ülesanded

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Kursus „Tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika elemente”