Sõltuvad ja sõltumatud sündmused

Kursus „Tõenäosus­teooria ja matemaatilise statistika elemente”

Urnis on 12 valget ja 3 sinist kuuli. Olgu sündmus B valge kuuli tulek esimese kuuli võtmisel ja sündmuseks A valge kuuli tulek teise kuuli võtmisel. Kui vahe­peal pannakse esimesena tulnud kuul urni tagasi, siis P\left(B\right)=\frac{12}{15}=0,8 ja P\left(A\right)=\frac{12}{15}=0,8. Näeme, et sündmuse A tõenäosus ei sõltu sellest, kas sündmus B eelnevalt toimus või mitte. Öeldakse ka, et sündmus A on sõltumatu sündmusest B või vastavad katsed (kuulide võtmised) on sõltumatud.

Üldiselt:

Vaatleme nüüd olu­korda, kus esimesena võetud kuuli ei panda urni tagasi. Kui esimesel katsel toimus sündmus B, siis teise katse korral on urnis 11 valget kuuli ja kogu kuulide arv on 14. Seega on sündmuse A toimumise tõenäosus \frac{11}{14}. Kui esimesel katsel ei toimunud sündmus B (toimus sündmus \overline{B}), siis sündmuse A toimumise tõenäosus on \frac{12}{14}. Tõenäosused on erinevad.

Et sündmuse A tõenäosus sõltub sellest, kas sündmus B toimus või ei, nimetatakse sündmust A sõltuvaks sündmusest B.

Üldiselt:

Vaatleme tõenäosuste korrutamise lauset sõltumatute sündmuste A ja B korral. Olgu sündmuse A jaoks soodsaid võimalusi k ja kõiki võimalusi n, sündmuse B jaoks aga soodsaid võimalusi m ja kõiki võimalusi r. Et sündmus AB tähendab nii sündmuse A kui ka sündmuse B toimumist, siis kombinatoorika korrutamis­lause põhjal on sündmuse AB jaoks soodsaid võimalusi k · m ning kõiki võimalusi n · r.

Nüüd P\left(AB\right)=\frac{k\cdot m}{n\cdot r}=\frac{k}{n}\cdot\frac{m}{r}=P\left(A\right)\cdot P\left(B\right).

Seega on sõltumatute sündmuste korral