Normaal­jaotus

Kursus „Tõenäosus­teooria ja matemaatilise statistika elemente”

Seni vaadeldud juhuslikud suurused on olnud diskreetsed. See tähendab, et juhusliku suuruse X võimalikke väärtusi on lõplik arv, mis kuuluvad teatud piir­konda ja asuvad üks­teisest eraldi.

Järgnevalt vaatleme pidevaid juhuslikke suurusi, mis saavad kõik­võimalikke väärtusi teatud piir­konnast. Järelikult on sellistel suurustel võimalikke väärtusi lõpmatult palju. See­juures tutvume ühe olulise jaotuse tüübiga, mille abil saab kirjeldada paljusid loodus­nähtusi. Selleks on normaal­jaotus.

Normaal­jaotuse tihedus­funktsioon $$ f\left(x\right)=\frac{1}{\text{σ}\sqrt{2\mathrm{\pi }}} e^{\frac{{\left(x - EX\right)}^2}{2{\text{σ}}^2}}$$ sisaldab karakteristikuid EX, σ² ja σ ning arvu e ≈ 2,72, millega tutvume lähemalt hiljem. Tihedus­funktsiooni graafik on joonisel 1.26. Graafikut nimetatakse Gaussi kõveraks (Saksa matemaatiku Carl Friedrich Gaussi järgi) ehk kella kõveraks.

Normaal­jaotuse omadusi:

1. Normaal­jaotus on sümmeetriline oma kesk­väärtuse suhtes.
2. Normaal­jaotuse korral ühtivad kesk­väärtus, mood ja mediaan.
3. Kui dispersioon suureneb, muutub graafik madalamaks ja seega ka laiemaks (hajuvus suureneb) ning lamedamaks.
4. Gaussi kõvera alune pindala x-teljeni on 1, sest juhusliku suuruse X kõik­võimalike väärtuste tõenäosuste summa peab olema ikka 1.
5. Juhusliku suuruse X väärtustest (vt joon. 1.26) ligi­kaudu
   ​68% langeb piir­konda [EX – σ; EX + σ],
   ​95% langeb piir­konda [EX – 2σ; EX + 2σ],
   ​99,7% langeb piir­konda [EX – 3σ; EX + 3σ].

Juhusliku suuruse väärtuste selline jaotus on ka üheks tunnuseks, mis viitab normaal­jaotusele (nimetatakse ka 3σ-reegliks).

Konkreetsete juhuslike suuruste, s.t katse­andmete vaatlemisel, näiteks laste sünni­kaalu korral, saadakse tavaliselt mõne­võrra moonutatud normaal­jaotus. Nii on ka joonisel 1.25 esitatud vast­sündinud laste kaaluga. Vastav graafik ei ole sümmeetriline. Põhjuseks on poiste suurem sünni­juhtude arv ja nende suurem sünni­kaal.