Arvjada mõiste

Kursus „Jadad. Funktsiooni tuletis”

Näide 1.

Ants joonistab arvuti­ekraanile mustrit ühise tipuga ruutudest, mille külje­pikkusteks on järjestikused naturaal­arvud alates 1-st (joonis 3.1). Kuue esimese ruudu pindalad koos ruudu järje­numbriga on järgmised:

Ruutude joonistamist võib jätkata ja ühtlasi leida, milline on igal uuel sammul joonistatud ruudu pindala. Näiteks 12-nda ruudu pindala on 144, 20-nda ruudu pindala 400 jne, üldiselt n-nda ruudu pindala on n2.

Joon. 3.1

Näites 1 tekkis järje­numbritega (indeksitega) varustatud arvude hulk ehk arv­jada. Selle arv­jada elementideks on ruutude pindalad: esimene element on 12 = 1, teine element 22 = 4, kolmas element 32 = 9, n-es element n2.

Arvjada saadakse, kui igale naturaal­arvule n (alates 1-st) seatakse vastavusse üks kindel arv an.

Tavaliselt kasutatakse nimetuse arvjada asemel lihtsalt nimetust jada. Arvud a1, a2, a3, …, an, … on jada elemendid ehk jada liikmed. Liikmele an järgnevad liikmed on an+1, an+2, an+3 jne. Liikmele an eelnevad liikmed on an–1, an–2, an–3 jne. Iga liikme indeks näitab, mitmenda liikmega jadast on tegemist.

Lühemalt võib jada a1, a2, a3, …, an, … tähistada sümboliga (an) või {an}. Jada definitsioonist nähtub, et jadal on lõpmata palju liikmeid ja et jada igal liikmel on kindel järje­number.

Jada suvalisele indeksile n vastavat liiget an nimetatakse jada üld­liikmeks. Edas­pidi vaatleme ees­kätt nii­suguseid jadasid, mille üld­liiget saab esitada mingi valemiga. Üld­liikme valem näitab, kuidas jada mis tahes liige avaldub selle liikme järje­numbri n kaudu. Näites 1 esitatud jada üld­liikme valem on an = n2.

Paljudel juhtudel ei ole võimalik jada üld­liiget esitada valemiga. Selline on näiteks alg­arvude jada 2; 3; 5; 7; 11; 13; … .

Jada liikmeid võib graafiliselt esitada punktidena arv­teljel (jada an = 2n + 1 liikmed joonisel 3.2a) või koordinaat­tasandil (jada a_n=\frac{2n-1}{n} liikmed joonisel 3.2b).

Joon. 3.2a
Joon. 3.2b

Viimasel juhul kantakse x-teljele jada liikmete järje­numbrid ja y-teljele jada liikmete väärtused. Jooniselt 3.2b on näha, et jadas järjest edasi liikudes lähenevad jada liikmed arvule 2.

Kui jada iga järgnev liige on suurem kui eelmine, siis nimetatakse jada kasvavaks. Vaadeldud jadad a_n=2n+1 ja a_n=\frac{2n-1}{n} on kasvavad. Kui jada iga järgnev liige on väiksem eelmisest, on tegemist kahaneva jadaga. Näiteks on jada a_n=-4n+1 kahanev.

Mõni­kord pole jada üld­liige antud mitte liikme järje­numbri, vaid jada eelnevate liikmete kaudu. Näiteks jadas a1 = 1, an+1 = 3an + 1 saame järgnevad liikmed arvutada nii: a2 = 3a1 + 1 = 3 · 1 + 1 = 4, a3 = 3a2 + 1 = 3 · 4 + 1 = 13 jne.

Üks tuntumaid jadasid, mille liikmed esitatakse eelnevate liikmete kaudu, on Fibonacci jada 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; … Selles on iga liige alates kolmandast saadud kahe eelneva liikme liitmisel: a_1=1, a_2=1, a_{n+2}=a_{n+1}+a_n.

Näide 2.

Kolmega jaguvate positiivsete arvude jada on 3; 6; 9; …; 3n; … . Antud jadas a_1=3, a_2=6, a_3=9 jne, üld­liige a_n=3n.

Näide 3.

On antud jada (an) üld­liikmega a_n=\frac{n}{n+1}. Leiame selle jada 5 esimest liiget. Selleks asendame üld­liikme valemisse n asemele 1; 2; …; 5 ja saame

a_1=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}, a_2=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}, a_3=\frac{3}{4}, a_4=\frac{4}{5}, a_5=\frac{5}{6}.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

2; 5; 8; 11; …; 3n – 1; …

Vastus. a_{10} = , a_{15} = , a_{35} = 

1; 3; 5; 7; …; 2n – 1; …

Vastus. a_{10} = , a_{15} = , a_{35} = 

1; 3; 9; 27; …; 3n – 1; …

Vastus. a_{10} = , a_{15} = , a_{35} = 

1; 3; 9; 19; …; 1 + 2(n – 1)2; …

Vastus. a_{10} = , a_{15} = , a_{35} = 

1; 3; 9; 16; …; 8n+\frac{12}{n}-19; …

Vastus. a_{10} = , a_{15} = , a_{35} = 

2; 5; 10; 17; …; n2 + 1; …

Vastus. a_{10} = , a_{15} = , a_{35} = 

Vastus. a6 = , a7 = , a8 = 

a_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}.

Vastus. Jada viis esimest liiget on , , , , .

a_n=2n+1.

Vastus. Jada viis esimest liiget on , , , , .

a_n=n\left(1-2^n\right).

Vastus. Jada viis esimest liiget on , , , , .

a_n=2\left(1+n\right)^2-3.

Vastus. Jada viis esimest liiget on , , , , .

Jada üld­liige on a_n=\frac{2n+5}{n-8}. Leidke liikmed a_{n-2}, a_{n-1}, a_{n+1}.

a_{n-2} =  = 

a_{n-1} =  = 

a_{n+1} =  = 

Vastus. Jada 4 esimest liiget on , , , . a_n = 

Vastus. Jada 4 esimest liiget on , , , . a_n = 

Vastus. Jada 4 esimest liiget on , , , . a_n = 

Vastus. Jada 4 esimest liiget on , , , . a_n = 

Vastus. Jada 4 esimest liiget on , , , . a_n = 

Mitmes liige on arv 1,75 jadas, mille üld­liige on a_n=\frac{2n}{n+1}?

Vastus. Arv 1,75 on selles jadas  liige.

Joon. 3.3

Vastus. 4. kujund koosneb  punktist. a_n = 

Joon. 3.4

Vastus. 4. kujund koosneb  väikesest kolm­nurgast ja 7. kujund koosneb  väikesest kolm­nurgast. a_n = 

Jada üld­liige on \frac{2n-2}{n+1}. Mitmes liige jadas on antud arv?

Antud arv

Mitmes liige?

\frac{16}{9}

\frac{38}{21}

\frac{12}{7}

\frac{48}{25}

an = 25 – 12n

Vastus. Jada liikmed on negatiivsed alates  liikmest.

an = –4n + 17

Vastus. Jada liikmed on negatiivsed alates  liikmest.

an = –2(n – 12,5)(n + 7)

Vastus. Jada liikmed on negatiivsed alates  liikmest.

a_n=-5n^2+45n

Vastus. Jada liikmed on negatiivsed alates  liikmest.

a_n=8n+7

Vastus. Jada liikmed on suuremad kui 40 alates  liikmest.

a_n=3n^2-26n

Vastus. Jada liikmed on suuremad kui 40 alates  liikmest.

a_n=3n-n^2

Vastus. Jada liikmed on suuremad kui 40 alates  liikmest.

4; 5; 6; 7; …

Vastus. a_5 = , a_6 = , a_n = 

–2; –4; –6; –8; …

Vastus. a_5 = , a_6 = , a_n = 

1; –1; 1; –1; …

Vastus. a_5 = , a_6 = , a_n = 

\frac{1}{2}; \frac{3}{4}; \frac{5}{6}; \frac{7}{8}; …

Vastus. a_5 = , a_6 = , a_n = 

  1. Leidke esmalt järgmised summad:
    1. 2 + 6 = 
    2. 2 + 6 + 10 = 
    3. 2 + 6 + 10 + 14 = 
    4. 2 + 6 + 10 + 14 + 18 = 
  2. Püstitage hüpotees summa kohta ja kontrollige selle tõesust mõnede n väärtuste korral. Pange seos kirja valemina.

Seotud sisu
Muud tegevused