Aritmeetiline jada ja selle üldliige

Kursus „Jadad. Funktsiooni tuletis”

1; 3; 5; 7; 9; ; ; …

12; 8; 4; 0; –4; ; ; …

–2; –5; –8; –11; –14; ; ; …

\frac{1}{4}; \frac{1}{2}; \frac{3}{4}; 1; \frac{5}{4}; ; ; …

  1. Leidke neis seadus­pärasused ja jätkake antud jadasid kahe liikme võrra.
  2. Mida ühist märkate antud jadades, võrreldes järjestikuseid liikmeid paari­kaupa?
  3. Esitage iga jada üld­liige valemiga. Võrrelge neid.

1; 3; 5; 7; 9; …

a_n = 

12; 8; 4; 0; –4; …

a_n = 

–2; –5; –8; –11; –14; …

a_n = 

\frac{1}{4}; \frac{1}{2}; \frac{3}{4}; 1; \frac{5}{4}; …

a_n = 

Jada, milles teisest liikmest alates on iga liikme ja sellele eelneva liikme vahe konstantne, nimetatakse aritmeetiliseks jadaks.

Konstantset arvu an – an–1 nimetatakse aritmeetilise jada vaheks ja tähistatakse tähega d. Seega aritmeetilises jadas an = an–1 + d iga n > 1 korral.

Näide 1.

Jada 7; 12; 17; 22; …; 5n + 2; … on aritmeetiline jada, sest 12 – 7 = 17 – 12 = 22 – 17 = … = 5. Selle jada vahe d = 5.

Jada 2; 6; 18; 54; … ei ole aritmeetiline jada, sest 6 – 2 ≠ 18 – 6 ≠ 54 – 18.

Kui a1 = 1 ja d = 1, saame aritmeetilise jada 1; 2; 3; 4; …; n; … .

Kui a1 = 3 ja d = 0, saame aritmeetilise jada 3; 3; 3; … . See on konstantne jada.

Kui jada vahe d > 0, siis on aritmeetiline jada kasvav; kui d < 0, siis on tegemist kahaneva jadaga.

Kui on teada aritmeetilise jada esimene liige a1 ja jada vahe d, siis on võimalik leida jada mis tahes liiget:

a2 = a1 + d;
​a3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d;
​a4 = a3 + d = a1 + 2d + d = a1 + 3d;

ehk üldiselt an = a1 + (n – 1)d. See on aritmeetilise jada üld­liikme arvutamise valem.

Aritmeetilise jada (an) üld­liige avaldub kujul an = a1 + (n – 1)d.

Näide 2.

Olgu aritmeetilises jadas teada a8 = 172 ja a1 = –3. Leiame aritmeetilise jada vahe d.

Et a8 = a1 + 7d, siis 7d = a8 – a1 = 172 – (–3) = 175 ja d = 175 : 7 = 25.

Näide 3.

Leiame, mitmes liige on arv 100 aritmeetilises jadas, milles a1 = 2 ja d = 2.

Meil on vaja leida liikme 100 järje­number n. Valemist an = a1 + (n – 1)d saame,

n-1=\frac{a_n-a_1}{d}, siit n=\frac{a_n-a_1}{d}+1=\frac{100-2}{2}+1=50.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

Antud arvud

Kas on aritmeetiline jada?

Jada vahe

5; –1; –7; –13; …

  • Jah
  • Ei

d = 

\frac{1}{2}; \frac{2}{3}; \frac{3}{4}; \frac{4}{5}; …

  • Jah
  • Ei

d = 

12; 4; \frac{4}{3}; \frac{4}{9}; …

  • Jah
  • Ei

d = 

2; 8; 14; 20; …

  • Jah
  • Ei

d = 

a1 = 3, d = 4

Vastus. Selle jada viis esimest liiget on , , , , . See jada on .

a2 = 5, d = –2

Vastus. Selle jada viis esimest liiget on , , , , . See jada on .

a1 = 0,8, d = –1,2

Vastus. Selle jada viis esimest liiget on , , , , . See jada on .

a5 = –16, d = –3

Vastus. Selle jada viis esimest liiget on , , , , . See jada on .

a3 = \frac{1}{3}, d = \frac{1}{3}

Vastus. Selle jada viis esimest liiget on , , , , . See jada on .

a4 = 5\frac{3}{4}, d = 7\frac{1}{4}

Vastus. Selle jada viis esimest liiget on , , , , . See jada on .

1,5; 3; 4,5; …

Vastus. a_{19} = ; a_n = .

15; 13; 11; …

Vastus. a_{19} = ; a_n = .

–8; –6,5; –5; …

Vastus. a_{19} = ; a_n = .

2; 4; 8; …

Vastus. a_{19} = ; a_n = .

Jada nr

a1

d

n

an

1.

15

–3

10

2.

–21

4

25

3.

–9

11

21

4.

–8

15

–29

5.

23

–5

–22

6.

–16

3

20

Vastus. Keha läbis kümnenda sekundiga  m.

Vastus. Jalg­rattur sõidab  h.

a3 = 60, a6 = 78

Vastus. a1 = ; d = .

a5 = 100, a10 = 50

Vastus. a1 = ; d = .

a1 + a2 = 19, a6 + a8 = 74

Vastus. a1 = ; d = .

a2 + a4 = 16, a6 – a2 = 12

Vastus. a1 = ; d = .

Vastus. Need arvud on , , , , , .

Vastus. Need arvud on , , , , , , .

  1. Uurige, kuidas on jada iga liige seotud oma kahe naaber­liikmega.
  2. Tõestage leitud seos.
  3. Millest võiks olla aritmeetiline jada saanud oma nimetuse?

Vastus. a6 + a8 = 

Vastus. Antud tingimus on täidetud esimese  liikme korral.

1) y = –2x + 1

2) y = 1 – x2

3) y=\frac{x}{x+1}

4) y = 3(1 + x)

5) y=\frac{2}{x}

6) y = 4x + 1

  1. Esitage antud funktsioonidega määratud jadade 4 esimest liiget ja n-es liige. Selleks andke argumendile x järjestikuseid naturaal­arvulisi väärtusi 1; 2; 3; 4 ja n ning arvutage vastavad y väärtused. Kandke liikmetele a1, a2, a3 ja a4 vastavad punktid koordinaat­tasandile.
  2. Missugused saadud jadadest on aritmeetilised jadad? Kuidas nimetatakse neid määravaid funktsioone?
    Vastus. Saadud jadadest on aritmeetilised jadad
  • 1)
  • 2)
  • 3)
  • 4)
  • 5)
  • 6)

Neid määravad .

  1. Kuidas avalduvad saadud aritmeetiliste jadade vahed esi­algse funktsiooni valemis olevate kordajate kaudu?
  2. Kas punktides 2 ja 3 leitu kehtib iga sellist liiki funktsiooni korral? Defineerige aritmeetiline jada vastava funktsiooni väärtuste jada kaudu.
Seotud sisu
Muud tegevused