Aritmeetilise jada n esimese liikme summa

Kursus „Jadad. Funktsiooni tuletis”

Kui saksa matemaatik Carl Friedrich Gauss (1777–1855) oli 9-aastane, andis õpetaja klassile ülesandeks leida kõigi naturaal­arvude summa 1-st kuni 100-ni. Ta lootis, et õpilastel jätkub arvutamist terveks tunniks või kauemakski. Vaevalt oli õpetaja ülesande andnud, kui Gauss oma tahvli ülesande vastusega õpetajale ulatas. Kuidas jõudis ta nii kiiresti vastuseni?

Noore Gaussi poolt avastatud seadus­pärasus on paremini märgatav, kui arvud 1–100 esitada kahe osana: alumistes tulpades arvud 1–50 ja nende peal olevates tulpades arvud 51–100 (joonis 3.5). Näeme, et 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = … = 50 + 51 = 101. Et selliseid summasid on kokku 50, on ülesande vastuseks 50 · 101 = 5050.

Joon. 3.5

Nii­siis märkas Gauss, et summas 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 on algusest ja lõpust samal kaugusel olevate liikmete summad võrdsed.

TEOREEM. Kui võtta aritmeetilises jadas n järjestikust liiget, siis on selles jadas algusest ja lõpust võrdsel kaugusel seisvate liikmete summa jääv ning võrdub esimese ja viimase liikme summaga.

*Tõestus.

Olgu antud aritmeetilise jada (an) n järjestikust liiget

a1, a2, a3, …, an–2, an–1, an.

Sel juhul on algusest ja lõpust esimesel kohal olevate liikmete summa a1 + an. Algusest ja lõpust teisel kohal olevate liikmete summa on

a2 + an–1 = a1 + d + an – d = a1 + an.

Vaatleme algusest ja lõpust k-ndate liikmete summat. Teame, et lõpust 2. liikme indeks on n – 1, lõpust 3. liikme indeks n – 2 jne, lõpust k-nda liikme indeks on n – (k – 1) = n – k + 1. Jada üld­liikme valemi järgi saame, et

ak = a1 + (k – 1)d,   an–k+1 = a1 + [(n – k + 1) – 1]d = a1 + (n – k)d

ja seega

ak + an–k+1 = a1 + (k – 1)d + a1 + (n – k)d = a1 + kd – d + a1 + nd – kd = a1 + a1 + (n – 1)d = a1 + an. ♦

Saadud omadust kasutades tuletame valemi aritmeetilise jada n esimese liikme summa Sn arvutamiseks. Esitame summa Sn kaks korda: üks kord on summas jada liikmed nende loomulikus järjestuses, teine kord vastu­pidises järjestuses.

(1) Sn = a1 + a2 + a3 + … + an–2 + an–1 + an

(2) Sn = an + an–1 + an–2 + … + a3 + a2 + a1

Nagu äsja tõestasime, on võrduste paremal pool kohakuti paiknevate liikmete summad võrdsed. Et selliseid summasid on n tükki, saame võrduste (1) ja (2) vastavate poolte liitmisel 2S_n=\left(a_1+a_n\right)n, millest saame valemi aritmeetilise jada n esimese liikme summa arvutamiseks:

Sn=a1 + an2·n.

Teades, et a_n=a_1+\left(n-1\right)d, võime saadud valemile anda ka teise kuju:

S_n=\frac{a_1+a_1+\left(n-1\right)d}{2}\cdot n ehk

Sn=2a1 + (n - 1)d2·n.

Viimane valem võimaldab arvutada n esimese liikme summat vaid jada esimese liikme ja jada vahe järgi. Kui d=0, siis S_n=a_1\cdot n.

Näide 1.

Leiame summa 1 + 2 + 3 + … + n. Siin on liidetud aritmeetilise jada n järjestikust liiget ja a_1=1, d=1, a_n=n.

S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{1+n}{2}\cdot n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}.

Näide 2.

Leiame kõigi 100-st väiksemate paaritute naturaal­arvude summa. Esimene paaritu naturaal­arv  a_1=1 ja viimane a_n=99. Tarvis on teada veel liikmete arvu n, mille leiame jada üld­liikme valemist a_n=a_1+\left(n-1\right)d:

n=\frac{a_n-a_1}{d}+1=\frac{98}{2}+1=50.

Siis S_{50}=\frac{1+99}{2}\cdot50=100\cdot25=2500.

Näide 3.

Kaupluse­kett võttis müüki 10 000 uudis­toodet. Esimese nädalaga müüdi ära 800 toodet, kuid igal järgneval nädalal müüdi 25 toodet vähem kui eelmisel nädalal. 1) Mitu toodet müüdi 12. nädalal? 2) Mitu toodet oli kaupluse­ketil 12. nädala lõpuks müümata?

Igas nädalas müüdud toodete arvud moodustavad aritmeetilise jada, milles a_1=800, d=−25, n=12.

  1. 12. nädalal müüdud toodete arvu saame leida valemiga a_n=a_1+\left(n-1\right)d.
    ​Selle järgi a_{12}​=800+(12-1)\cdot(-25) = 800-11\cdot25 = 525.
  2. Teisele küsimusele vastamiseks tuleb kõige­pealt leida, mitu toodet on 12 nädala jooksul juba müüdud. See on jada 12 esimese liikme summa S12.
    ​Kuna meil on teada nii jada esimene liige a1 kui ka viimane liige a12, siis on mõistlik kasutada valemit S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.
    ​Nii saame, et S_{12}​=\frac{800+525}{2}\cdot12 = 1325\cdot6 = 7950.
    ​Järelikult on kaupluse­ketil müümata veel 10 000 – 7950 = 2050 uudis­toodet.

Seega müüdi 12. nädalal 525 uudis­toodet ja 12. nädala lõpuks oli müümata 2050 toodet.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

a1 = –17, d = 6

Vastus. S10 = 

a1 = 3, d = –5

Vastus. S10 = 

a1 = 2, a3 = 6

Vastus. S10 = 

a_1=\frac{3}{4}, d = 4

Vastus. S10 = 

a1 = 10, an = –19, n = 30

Vastus. S30 = 

a1 = 3,4, d = 2,1, n = 14

Vastus. S14 = 

a_1=\frac{5}{6}, d=\frac{4}{3}, n = 12

Vastus. S12 = 

d=-\frac{1}{4}, n = 13, an = 1

Vastus. S13 = 

a1 = –10, n = 6, an = –20

Vastus. S6 = 

d = 2, n = 15, an = –10

Vastus. S15 = 

Vastus. Keha läbis 10 sekundiga  m.

Vastus. Tartu Raekoja kell lööb öö­päevas  korda.

Vastus. Arvude 100 ja 1000 vahel on  7-ga jaguvat arvu. Nende arvude summa on .

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2

Vihje
Kasutage aritmeetilise jada summa valemit.

2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1)

Vihje
Kasutage aritmeetilise jada summa valemit.

2 + 6 + 10 + … + (4n – 2) = 2n2

Vihje
Kasutage aritmeetilise jada summa valemit.

Vastus. Keha langeb 249,9 m . sekundil.

Vastus. Keha langeb 500 m kõrguselt umbes  sekundit.

Vastus. See šaht on -meetrine.

Vastus. Firmas A teeniks ta 10 aastaga  € ja firmas B sama ajaga  €.

Vastus. Tulu iga-aastane juurde­kasv oli  €. Omanik sai aktsiatelt 11 aastaga  € tulu.

Joon. 3.6

Vastus. 120 toru paigutamisel tekib -realine virn ja kõige alumisse ritta tuleb panna  toru. Virna kõrgus saab olema  m.

Vastus. Selles jadas tuleb võtta  liiget.

Vastus. Matka­grupp jõudis siht­kohta kell .

Vastus. See juhtub  päeval ja ta on selleks ajaks kokku käinud  sammu.

Vastus. Andres peaks maksma 23 m sügavuse puur­kaevu puurimise eest  €.

Vastus. Esimesele tuleks anda  mõõtu vilja, teisele  mõõtu, kolmandale  mõõtu, neljandale  mõõtu ja viiendale  mõõtu.

Seotud sisu
Muud tegevused