Geomeetriline jada ja selle üldliige

Kursus „Jadad. Funktsiooni tuletis”

2; 4; 8; 16; 32; ; ; …

1; 2; 4; 8; 16; ; ; …

2; 1; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}; ; ; …

–3; –3²; –3³; –3⁴; –3⁵; ; ; …

Leidke seaduspärasus ja jätkake antud jadasid kahe liikme võrra.
Mida ühist märkate nendes jadades?
Leidke jada üldliige.

2; 4; 8; 16; 32; …	a_n =
1; 2; 4; 8; 16; …	a_n =
2; 1; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}; …	a_n =
–3; –3²; –3³; –3⁴; –3⁵; …	a_n =

Jada, milles teisest liikmest alates on iga liikme ja sellele eelneva liikme jagatis konstantne, nimetatakse geomeetriliseks jadaks.

Kui jada (a_n) on , siis on jagatis \frac{a_n}{a_{n-1}} ühesugune iga n>1 korral. Seda jagatist nimetatakse geomeetrilise jada teguriks ja tähistatakse tähega q. Seega \frac{a_n}{a_{n-1}}=q ehk a_n=a_{n-1}q.Kui näiteks geomeetrilises jadas a_1=6 ja q=2, saame jada 6; 12; 24; 48; … . Kui a_1=3 ja q=1, saame konstantse jada 3; 3; 3; … .

Kui on teada geomeetrilise jada (a_n) esimene liige a₁ ja jada tegur q, on võimalik leida selle jada mis tahes liiget:a_2=a_1q, a_3=a_2q=a_1qq=a_1q^2, a_4=a_3q=a_1q^2q=a_1q^3ehk üldiselt a_n=a_1q^{n-1}. See on arvutamise valem.

Geomeetrilise jada (a_n) üldliige avaldub kujul a_n = a₁q^n–1.

Näide 1. Geomeetrilises jadas on antud a_5=16 ja a_1=81. Leiame jada teguri q.Et a_n=a_1q^{n-1}, siis a_5=a_1q^4. Seega 16=81q^4, millest q^4=\frac{16}{81} ning q=\pm\sqrt[4]{\frac{16}{81}}=\pm\frac{2}{3}. Järelikult leidub kaks sellist geomeetrilist jada:

81; –54; 36; –24; 16; …; 81\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1}; …
81; 54; 36; 24; 16; …; 81\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}; …

Näide 2. Üks koolerapisik jaotub iga poole tunni järel kaheks pisikuks. Kui palju koolerapisikuid on tekkinud ühest koolerapisikust 5 tunni möödudes?

Kui algul on üks koolerapisik, siis poole tunni pärast on kaks pisikut, sealt edasi poole tunni pärast 4 pisikut jne (joonis 3.7). Tekib geomeetriline jada, kus a_1=1, q=2. Et a₁ on pisikute arv vaatluse algul, siis tuleb meil leida a₁₁:a_{11}=a_1q^{10}=1\cdot2^{10}=1024.

Joon. 3.7

Vastus. Viie tunni pärast on 1024 pisikut.

Näide 3. Sportlasel tuleb iga päev teha harjutusi teatud lihaste treenimiseks. Ta alustab 15-minutilise treeninguga ja igal järgneval päeval suurendab treeninguaega 10% võrra. Kui kaua kestab tema lihastreening 20. päeval?Veendume kõigepealt, et järjestikused treeninguajad moodustavad geomeetrilise jada. Teisel päeval lisandub treeninguajale 10% ehk \frac{10}{100}\cdot15=0,1\cdot15 minutit. Järelikult kulub teisel päeval aega 15+0,1\cdot15=\left(1+0,1\right)=1,1\cdot15 minutit. Kolmandal päeval kulub aega 1,1\cdot15+0,1\cdot\left(1,1\cdot15\right)=1,1^2\cdot15 minutit. Nii tekib jada 15; 1,1 · 15; 1,1² · 15 jne. See on geomeetriline jada, mille esimene liige a_1=15 ja tegur q=1,1.Nüüd leiame valemist a_{20}=a_1q^{20-1}, et 20. päeval kestab treening 15\cdot1,1^{19}\approx92 minutit.

Seotud sisu

Ülesanded

$1$ ; $3$ ; $9$ ; $27$ ; …
$\sqrt{7}$ ; $7$ ; $7 \sqrt{7}$ ; $49$ ; ...
$\frac{1}{3}$ ; $\frac{1}{6}$ ; $- \frac{2}{3}$ ; $- 1 \frac{1}{6}$ ; ...
$- 16$ ; $- 8$ ; $- 4$ ; $- 2$ ; …
$- 24$ ; $- 16$ ; $- 8$ ; $0$ ; …
$- 8$ ; $- 8$ ; $- 8$ ; $- 8$ ; …
$\frac{1}{2}$ ; $\frac{1}{3}$ ; $\frac{1}{4}$ ; $\frac{1}{5}$ ; ...
$\frac{1}{3}$ ; $\frac{- 1}{6}$ ; $\frac{1}{12}$ ; $\frac{- 1}{24}$ ; ...
$0,2$ ; $0,6$ ; $1,8$ ; $5,4$ ; …
$1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; …

Geomeetriline jada	Jada tegur
1; 3; 9; 27; …	q =
\frac{1}{3};\ \frac{-1}{6};\ \frac{1}{12};\ \frac{-1}{24};\ \dots	q =
\sqrt{7};\ 7;\ 7\sqrt{7};\ 49;\ \dots	q =
0,2; 0,6; 1,8; 5,4; …	q =
–16; –8; –4; –2; …	q =
–8; –8; –8; –8; …	q =

a₁ = 1, q = 2

Vastus. a_n = , a₆ = .

a₁ = 2, q = –3

Vastus. a_n = , a₆ = .

a₁ = 0,125, q = –4

Vastus. a_n = , a₆ = .

a₁ = –10, q = 0,5

Vastus. a_n = , a₆ = .

a_1=-\frac{5}{6}, q=-\frac{3}{5}

Vastus. a_n = , a₆ = .

a₁ = 51, q = 10^–1

Vastus. a_n = , a₆ = .

q = 5, a₃ = 125

Vastus. a₁ =

q = –0,2, a₅ = 12

Vastus. a₁ =

q = –1, a₂₀ = 7

Vastus. a₁ =

q = 2, a₈ = 720

Vastus. a₁ =

q=\sqrt{3}, a₅ = 24

Vastus. a₁ =

q=-\sqrt{5}, a_6=75\sqrt{5}

Vastus. a₁ =

a₂ = 6, a₄ = 24

Vastus. a₉ = või a₉ =

a₃ = –9, a₅ = –81

Vastus. a₉ =

a₅ = 2, a_{10}=\frac{1}{16}

Vastus. a₉ =

a_5=\frac{1}{40}, a_8=\frac{1}{40000}

Vastus. a₉ =

Vastus. Need arvud on ja .

Vastus. Need arvud on , ja .

Vastus. 64 km kõrgusel on siis õhurõhk mmHg.

Vastus. Kolmnurga K₅ ümbermõõt on cm.

Vastus. Sel ajal saab „uudisest” teada inimest.

Vastus. 10 aasta pärast on metsas tm puitu.

Vastus. Hoius kasvab euroni.

Vastus. India rahvaarv oleks olnud siis miljardit. Tegelikult oli see miljardit.

a_1=1, q=2

a_1=8, q=\frac{1}{2}

a_1=\frac{1}{4}, q=4

Kirjutage välja iga antud jada 6 esimest liiget.
Uurige, kuidas avaldub geomeetrilise jada iga liige (alates teisest) oma kahe naaberliikme kaudu.
Tõestage leitud seos.
Millest võiks olla geomeetriline jada saanud oma nimetuse?

Vastus. Selle geomeetrilise jada esimesed liikmed on ; ; ; ; …

Vihje

Koostage kaks võrrandit, tooge teisest võrrandist q³ sulgude ette ja sulgudesse jääva avaldise väärtus asendage esimesest võrrandist.

Seotud sisu

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Geomeetriline jada ja selle üld­liige

Kursus „Jadad. Funktsiooni tuletis”

Seotud sisu

Ülesanded

Vihje

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid

Geomeetriline jada ja selle üldliige