Geomeetrilise jada n esimese liikme summa

Kursus „Jadad. Funktsiooni tuletis”

Legend jutustab, et male­mängust vaimustatud India kuningas Sheran tegi oma alamale, male­mängu leiutajale, ette­paneku ütelda mingi soov, mille kuningas võiks täita. Leiutaja soov oli järgmine: üks nisu­tera male­laua 1. ruudu eest, 2 nisu­tera 2. ruudu eest, 4 nisu­tera 3. ruudu eest, 8 nisu­tera 4. ruudu eest, üldiselt iga järgmise ruudu eest kaks korda rohkem teri kui eelmise eest. Kuningas arvas, et see soov on liiga tagasi­hoidlik. On see nii?

Vilja­terade arvud male­laual on geomeetrilise jada 1; 2; 4; 8; …; 2n–1; … liikmed. Terade kogu­arv oleks selle jada 64 esimese liikme summa

1 + 2 + 4 + 8 + … + 263.

Valemi tuletamine

Tuletamegi järgnevas valemi geomeetrilise jada n esimese liikme summa arvutamiseks. Tähistame selle summa sümboliga Sn. Seega

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an ehk

Sn = a1 + a1q + a1q2 + a1q3 + … + a1qn–1.    (1)

Korrutame viimast võrdust teguriga q:

Snq = a1q + a1q2 + a1q3 + a1q4 + … + a1qn.    (2)

Lahutades võrdusest (2) võrduse (1), saame

Snq – Sn = (a1q + a1q2 + … + a1qn–1 + a1qn) – (a1 + a1q + … + a1qn–2 + a1qn–1).

Pärast koondamist võrduse paremal pool saame

Snq – Sn = a1qn – a1 ehk Sn(q – 1) = a1(qn – 1).

Nii saame geomeetrilise jada n esimese liikme summa valemi

Sn=a1(qn - 1)q - 1, kus q ≠ 1.

Viimasest valemist saame lihtsa teisenduse teel valemi jada liikmete summa leidmiseks jada esimese liikme a1 ja viimase liikme an kaudu:

S_n = \frac{a_1q^n-a_1}{q-1} = \frac{a_1q^{n-1}q-a_1}{q-1} = \frac{a_nq-a_1}{q-1} ehk

Sn=anq - a1q - 1, kus q ≠ 1.

Näide 1.

Lahendame käes­oleva peatüki algul esitatud ülesande vilja­terade arvust, mis tuleks kuningal male­laua leiutajale anda. Vaadeldavas jadas a1 = 1, q = 2, n = 64 ja

S_{64} = \frac{1\left(2^{64}-1\right)}{2-1} = 2^{64}-1 = 18\ 446\ 744\ 073\ 709\ 551\ 615.

See vilja­terade kogus oleks üle triljoni tonni. Võrrelge seda arvu kogu maa­ilma aastase nisu­toodanguga.

Näide 2.

Jätkame peatüki 13.4. näidet 3 ja arvutame, ligi­kaudu mitu tundi on sportlane 20 päeva jooksul kokku kulutanud lihas­treeninguteks.

Selleks leiame geomeetrilise jada (a_1=15, q=1,1) 20 esimese liikme summa

S_{20}=\frac{15\left(1,1^{20}-1\right)}{1,1-1}\approx859,12.

Seega kulus treeningutele kokku ligi­kaudu 859 minutit, mis on ligi­kaudu 14\frac{1}{3} tundi.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

a1 = 3, q = 2, n = 5

Vastus. Sn = 

a1 = 4, q = 0,5, n = 6

Vastus. Sn = 

a1 = 0,5, q = 3, n = 4

Vastus. Sn = 

a1 = 5, q=\frac{-1}{2}, n = 10

Vastus. Sn = 

3, –6, 12, …

Vastus. S6 = 

58; 87; 130,5; …

Vastus. S6 = 

3, 6, 12, …

Vastus. S6 = 

1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, …

Vastus. S6 = 

Vastus. Selles jadas tuleb võtta  liiget.

Vastus. Selles jadas tuleb võtta  liiget.

1 + 3 + 32 + … + 38 = 

29 + 28 + … + 2 + 1 = 

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2^7} = 

1 – 2 + 22 – 23 + … + 212 = 

1 + x + x2 + … + x100 = 

1 – x + x2 – x3 + … – x15 = 

Vastus. Kummi­pall on läbinud siis ligi­kaudu  m.

Vastus. Kell 1500 on „uudist” kuulnud  inimest.

Vastus. Aasta viimasel esmas­päeval saadetaks teele  post­kaarti. Kogu aasta jooksul osaleks selles mängus  post­kaarti.

Vastus. Linna elanike arvu aastane kasvu­tegur on . Linna elanike arv 5 aasta pärast on .

Vastus. Kaevu viimase meetri puurimine maksaks  € ja kogu kaevu puurimine  €.

Seotud sisu
Muud tegevused