Funktsiooni piir­väärtus

Kursus „Jadad. Funktsiooni tuletis”

Vaatleme funktsiooni y=\frac{x^2+x-2}{x+2}. Selle funktsiooni määramis­piirkonnaks on kogu reaal­arvude hulk, välja arvatud arv –2, sest x = –2 korral puudub funktsioonil väärtus. Kuna jagatisel \frac{0}{0} pole ühest tähendust, öeldakse matemaatikas selle kohta, et tegemist on määramatusega.

Koostame funktsiooni y=\frac{x^2+x-2}{x+2} väärtuste tabeli ja selle järgi funktsiooni graafiku.

Nagu näeme, osutub antud funktsiooni graafikuks sirge, millel puudub üks punkt (joonis 3.8a ja b). Puuduvat punkti graafikul märgitakse seest tühja väikese ringikesega (joonis 3.8a) või sellesse puuduvasse punkti suunatud kahe vastastikuse noolega (joonis 3.8b).

Et graafikuks (määramis­piirkonna ulatuses) on tõesti sirge, ilmneb ka sellest, et ruut­kolm­liige x^2+x-2=\left(x-1\right)\left(x+2\right) ja nüüd on funktsiooni avaldis

\frac{x^2+x-2}{x+2} = \frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{x+2} = x-1.   (1)

Seega on funktsioonide

y=\frac{x^2+x-2}{x+2}, kus x ∈ R, x ≠ –2,   (2)

ja

y = x – 1, kus x ∈ R,   (3)

erinevus on vaid määramis­piirkonna ühes väärtuses x = –2. Järelikult on ka nende graafikud samad, välja arvatud kohal x = –2.

Uurime järgnevalt, kuidas käitub funktsioon y=\frac{x^2+x-2}{x+2} koha x = –2 läheduses ehk ümbruses, nagu öeldakse matemaatikas. Selleks laseme argumendi väärtustel läheneda arvule –2. Teisiti öeldes, moodustame argumendi x väärtuste jada, mis läheneb arvule –2, ja leiame sellele jadale vastava funktsiooni väärtuste jada.

Lähenegu argumendi x väärtused arvule −2 näiteks järgmiselt:

x: –2,1; –2,01; –2,001; –2,0001; –2,00001; … → –2.

Vastavad funktsiooni väärtused on siis

y: –3,1; –3,01; –3,001; –3,0001; –3,00001; … → –3.

Nagu näha, lähenevad funktsiooni väärtused tõkestamatult arvule –3, kui argumendi väärtused lähenevad tõkestamatult arvule −2.

Osutub, et argumendi x iga väärtuste jada korral, mis läheneb arvule –2, lähenevad vaadeldava funktsiooni väärtused ikka arvule –3. Kui näiteks:

x: 2; 1,5; −0,3; −1,1; −1,58; −1,9; −1,999; −1,999999; … → –2,

siis

y: 1; 0,5; −1,3; −2,1; −2,58; −2,9; −2,999; −2,999999; … → –3.

Arvu –3 nimetatakse funktsiooni $$ \mathit{y}\mathbf{=}\frac{{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{2}}{\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{2}}$$ piir­väärtuseks argumendi x lähenemisel arvule –2. Kirjutada võib seda kujul:

kui x\to-2, siis \frac{x^2+x-2}{x+2}\to-3   või   kujul $$ \underset{x\to -2}{\text{lim}}\frac{x^2 + x - 2}{x + 2}=-3$$.

Neid kirjutisi võib lugeda mitmeti:

funktsiooni \frac{x^2+x-2}{x+2} piir­väärtus, kui x läheneb –2-le, on –3;

funktsiooni \frac{x^2+x-2}{x+2} piir­väärtus on –3, kui x läheneb –2-le;

funktsiooni \frac{x^2+x-2}{x+2} piir­väärtus kohal –2 on –3;

liimes funktsioonist \frac{x^2+x-2}{x+2}, kui x läheneb –2-le, on –3.

Kui üld­juhul on kohal a funktsiooni y=f\left(x\right) piir­väärtuseks A, siis kirjutatakse

ehk

Ees­pool nägime, et funktsioonil y=\frac{x^2+x-2}{x+2} puudus väärtus kohal −2. Küll oli aga kohal −2 piir­väärtus −3, mida kirjutasime ka kujul $$ \underset{x\to -2}{\text{lim}}\frac{x^2 + x - 2}{x + 2}=-3$$.

Sama tulemuse −3 saanuks ka antud funktsiooni avaldise teisendamise (1) tulemusest x-1, kui x=-2. Siit küsimus, kas funktsiooni piir­väärtust ei saaks lihtsamalt arvutada kui vaid muutujate x ja y väärtuste jada abil? Vastus on jaatav. Selleks tuleb vabaneda funktsiooni \frac{x^2+x-2}{x+2} määramatusest kohal −2 ja arvutada saadud avaldise väärtus kohal −2. Seda võib vormistada järgmiselt:

$$ \underset{x\to -2}{\text{lim}}\frac{x^2 + x - 2}{x + 2}$$ = $$ \underset{x\to -2}{\text{lim}}\frac{\left(x - 1\right)\left(x + 2\right)}{\left(x + 2\right)}$$ = $$ \underset{x\to -2}{\text{lim}}\left(x-1\right)$$ = $$ -3$$.

Näidete varal oleme saanud kaks reeglit, kuidas on hea arvutada funktsiooni piir­väärtust antud kohal:

1. Kui funktsioonil y=f\left(x\right) tekib kohal a määramatus, tuleb funktsiooni avaldist teisendada nii, et määramatus kohal a kaoks. Piir­väärtuseks on nüüd saadud avaldise väärtus kohal a.
2. Kui funktsioonil y=f\left(x\right) on väärtus kohal a olemas, siis $$ \underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)=f\left(a\right)$$.

Tuletame meelde, et sümbolid ±∞ ei tähista arve. Seega tähendavad kirjutised x→∞ ja x→−∞, et muutuja x väärtused kasvavad ja saavad kui­tahes suureks (liikumine arv­telje positiivses suunas) või vastavalt x väärtused pidevalt kahanevad negatiivses suunas (liikumine arv­telje negatiivses suunas).

Kui funktsiooni y=f\left(x\right) väärtused tõkestamatult kasvavad või kahanevad, kirjutatakse samuti f\left(x\right)\to∞, f\left(x\right)\to-∞. Ka kirjutised $$ \underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)=\infty $$ ning $$ \underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)=-\infty $$ tähendavad, et funktsiooni f (x) väärtused kasvavad või vastavalt kahanevad tõkestamatult, kuigi sageli loetakse, et funktsiooni f (x) piir­väärtus on pluss lõpmatus või miinus lõpmatus.

Meenutame eksponent­funktsiooni y=a^x, a>1 omadusi (peatükk 10.3, joonis 2.38).

Kui x väärtused tõkestamatult kasvavad, siis funktsiooni väärtused kasvavad kui­tahes suureks; sümboleis:

kui x\to∞, siis a^x\to∞ või lühemalt $$ \underset{x\to \infty }{\text{lim}}{a}^x=\infty $$.

Kui aga x väärtused tõkestamatult kahanevad, siis funktsiooni väärtused lähenevad nullile; sümboleis:

kui x\to-∞, siis a^x\to0 või lühemalt $$ \underset{x\to -\infty }{\text{lim}}{a}^x=0$$.

Määramatus võib esineda ka kujul \frac{∞}{∞}. Nagu varem, tuleb ka nüüd teisendada funktsiooni avaldist nii, et määramatus kaoks.