Mõningaid erilisi piir­väärtuseid

Piir­väärtused $$ \underset{x\to \infty }{\text{lim}}{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$$ ja $$ \underset{x\to 0}{\text{lim}}\frac{\text{sin} x}{x}$$

Kursus „Jadad. Funktsiooni tuletis”

Matemaatikas on mõningatel piir­väärtustel eriline tähendus. Vaatame neist kahte.

1. Vaatame arv­jada, mille liikmed arvutatakse valemiga a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n, kus n on jada liikme järje­korra­number. Jada mõned esimesed liikmed on

a_1=2, a_2=1,5^2=2,25, a_3=\left(1+\frac{1}{3}\right)^3\approx2,3704, a_4=1,25^4\approx2,4414.

Millele läheneb avaldise \left(1+\frac{1}{n}\right)^n väärtus, kui n\to∞? Selleks anname suurusele n järjest suuremaid väärtusi ja arvutame a_n väärtused:

Arvu, millele läheneb a_n väärtus, tähistatakse tähega e. Kui arvu π väärtusest on kõigil meeles kolm numbrit (π ≈ 3,14), siis ka arvu e väärtusest peaks meeles pidama kolm numbrit, e ≈ 2,72. Arvu e väärtus pikemalt: e = 2,71828182845…

Seega $$ \underset{n\to \infty }{\text{lim}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=e$$, kus n ∈ N.

Kui naturaal­arvu n asemel on positiivne reaal­arv x, on analoogilise piir­protsessi tulemuseks ikka arv e, s.t

2. Leiame piir­väärtuse $$ \underset{x\to 0}{\text{lim}}\frac{\text{sin} x}{x}$$. Kasutame selleks jadasid:

Seega,

Näitest selgus, et ka $$ \underset{x\to 0}{\text{lim}}\frac{\text{tan} x}{x}=1$$.

Seosest kui x\to0, siis \frac{\sin x}{x}\to1 järeldub, et küllalt väikeste \left(x\to0\right) radiaanides mõõdetud nurkade x korral on \frac{\sin x}{x}\approx1, ehk

Näite 1 põhjal saame, et ka

Praktiliselt võib lugeda \sin x=x ja \tan x=x, kui 0\le x<0,0870.