Funktsiooni muut

Kursus „Jadad. Funktsiooni tuletis”

Olgu antud funktsioon y = f(x), mille argumendi üks väärtus on x1 (alg­väärtus) ja teine väärtus on x2 (lõpp­väärtus). Väärtuste vahet x2 – x1 nimetatakse siis argumendi muuduks ja tähistatakse sümboliga Δx (loe: delta x). Seega

Δx = x2 – x1, millest x2 = x1 + Δx.

Argumendi muut Δx võib olla nii positiivne kui ka negatiivne (joonis 3.9).

Joon. 3.9

Et argumendi igale väärtusele vastab funktsiooni väärtus, siis ka argumendi muudule vastab funktsiooni muut (joonis 3.10 ja 3.11), mida tähistatakse sümboliga Δy. Seega

Δy = y2 – y1 = f (x2) – f (x1).

Joon. 3.10
Joon. 3.11

Ka Δy võib olla nii positiivne (joonis 3.10) kui ka negatiivne (joonis 3.11), aga ka null, kui f (x2) = f (x1).

Näide 1.

Leiame argumendi muudu ja funktsiooni muudu, kui y=3x^2-1 ning x_1=3 ja x_2=5.

Argumendi muut \Delta x=5-3=2. Sellele vastav funktsiooni muut

\Delta y=y_2-y_1 = \left(3\cdot5^2-1\right)-\left(3\cdot3^2-1\right) = \left(75-1\right)-\left(27-1\right) = 48.

Joon. 3.12

Kui funktsiooni y=f\left(x\right) argumendi alg­väärtuseks võtta x (joonis 3.12) ja argumendi muut on Δx, siis on argumendi lõpp­väärtuseks x + Δx ning funktsiooni muudu üld­avaldis avaldub kujul

Δy = f(x + Δx) – f(x).

Näide 2.

Leiame funktsiooni y = 2x2 + 3x – 4 muudu üld­avaldise.

Et f\left(x+\Delta x\right)=2\left(x+\Delta x\right)^2+3\left(x+\Delta x\right)-4 ja f\left(x\right) on antud funktsioon, siis

\Delta y = \left[2\left(x+\Delta x\right)^2+3\left(x+\Delta x\right)-4\right]-\left(2x^2+3x-4\right) = 2x^2+4x\Delta x+2\left(\Delta x\right)^2+3x+3\Delta x-4-2x^2-3x+4 = 4x\Delta x+3\Delta x+2\left(\Delta x\right)^2.

Valem funktsiooni muudu arvutamiseks on \Delta y=4x\Delta x+3\Delta x+2\left(\Delta x\right)^2.

Näide 3.

Arvutame sama funktsiooni y=2x^2+3x-4 muudu 1) kohal x = 0, kui Δx = 2 ja 2) kohal x = 2,2, kui Δx = 0,9.

Kasutame eelmises näites saadud valemit Δy = 4xΔx + 3Δx + 2(Δx)2:

  1. Δy = 4 ⋅ 0 ⋅ 2 + 3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 22 = 14;
  2. Δy = 4 ⋅ 2,2 ⋅ 0,9 + 3 ⋅ 0,9 + 2 ⋅ 0,92 = 12,24.

Suhe \frac{\Delta y}{\Delta x} näitab, kui palju muutub funktsiooni väärtus keskmiselt argumendi ühe ühiku kohta lõigus ots­punktidega x ja x + Δx. Seega võib suurust \frac{\Delta y}{\Delta x} nimetada ka funktsiooni muutumise keskmiseks kiiruseks Δx ulatuses alates argumendi väärtusest x.

Näide 4.

Näite 3 andmetel on juhul 1) \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{14}{2}=7 ja juhul 2) \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{12,24}{0,9}=13,6.

Lõigul [0; 2] on seega funktsiooni y = 2x2 + 3x – 4 muutumise keskmine kiirus väiksem kui lõigul [2,2; 3,1]. Seega tõuseb funktsiooni y = 2x2 + 3x – 4 graafik lõigul [2,2; 3,1] oluliselt järsemalt kui lõigul [0; 2].

Näide 5.

Keha vabal langemisel on läbitud tee pikkus s=\frac{gt^2}{2}, kus g=9,8\mathrm{\ m}/\mathrm{s}^2 ja t on aeg sekundites. Leiame s=\frac{gt^2}{2} muudu valemi alates aja­hetkest t:

\Delta s = \frac{g\left(t+\Delta t\right)^2}{2}-\frac{gt^2}{2} = \frac{g}{2}\left[t^2+2t\cdot\Delta t+\left(\Delta t\right)^2-t^2\right] = \frac{g}{2}\left[2t\cdot\Delta t+\left(\Delta t\right)^2\right].

Saadud valem \Delta s=0,5g\left[2t\cdot\Delta t+\left(\Delta t\right)^2\right] võimaldab arvutada aja­vahemiku Δt jooksul läbitud tee pikkuse Δs alates aja­hetkest t.

Arvutame keha vabal langemisel läbitud tee pikkuse, kui t=10\ \left(s\right) ja \Delta t=4\ \left(s\right):

\Delta s=0,5g\cdot\left[2\cdot10\cdot4+16\right]=48g=470,4\ \mathrm{m}.

Näide 6.

Eelmise näites leidsime, et keha vaba langemise korral on alates aja­hetkest t aja­vahemiku Δt jooksul läbitud tee pikkus arvutatav valemiga

\Delta s=0,5g\left[2t\cdot\Delta t+\left(\Delta t\right)^2\right].

Leiame nüüd keskmise kiiruse v_k=\frac{\Delta s}{\Delta t} arvutamise valemi aja­vahemiku Δt jooksul alates aja­hetkest t:

v_k=\frac{0,5g\left[2t\cdot\Delta t+\left(\Delta t\right)^2\right]}{\Delta t} = 0,5g\left(2t+\Delta t\right).

Leiame, millise keskmise kiirusega langes eelmises näites kirjeldatud keha alates 10. sekundist 4 sekundi jooksul. Et t=10 ja \triangle t=4, siis

v_k=0,5g\left(20+4\right)=12g = 117,6 m/s.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

f\left(2\right), f\left(-1\right), f\left(4,5\right), kui y=3x-2x^2+4.

f\left(2\right) =  = 

f\left(-1\right) =  = 

f\left(4,5\right) =  = 

f\left(0,5\right), f\left(a\right), f\left(a+2\right), kui y=4^x.

f\left(0,5\right) =  = 

f\left(a\right) =  = 

f\left(a+2\right) =  = 

f\left(0\right), f\left(a+1\right), f\left(x-3\right), kui y=x^2-2x.

f\left(0\right) =  = 

f\left(a+1\right) =  = 

f\left(x-3\right) =  = 

f\left(2x\right), f\left(-x\right), kui y=\frac{x}{2-x}.

f\left(2x\right) =  = 

f\left(-x\right) =  = 

y=x^2-3, x_1=2, x_2=3.

\Delta y =  = 

y=2x^2-4x, x_1=-2, x_2=0.

\Delta y =  = 

y=\frac{1}{x}, x_1=2, x_2=2,5.

\Delta y =  = 

y=\sin x, x_1=\frac{\pi}{6}, x_2=\frac{\pi}{4}.

\Delta y =  = 

y=x^2
\Delta y = 

y=\frac{3}{x}
\Delta y = 

y=4x-8
\Delta y = 

y=\cos x
\Delta y = 

y=e^x
\Delta y = 

y=\ln x
\Delta y = 

y=x^2 ja

  1. x=1, \Delta x=0,5
    \Delta y =  = 
  2. x=-1, \Delta x=2
    \Delta y =  = 

y=\frac{3}{x} ja

x=-5, \Delta x=2

\Delta y =  = 

y=4x-8 ja

  1. x=-2, \Delta x=3
    \Delta y =  = 
  2. x=2,5, \Delta x=-1
    \Delta y =  = 

y=\cos x ja

x=\frac{\pi}{3}, \Delta x=\frac{\pi}{6}

\Delta y =  = 

y=e^x ja

  1. x=0, \Delta x=0,25
    \Delta y =  = 
  2. x=4, \Delta x=3
    \Delta y =  = 

y=\ln x ja

x=0,8, \Delta x=-0,2

\Delta y =  = 

Leidke selle keha keskmine kiirus

  1. 4 sekundi jooksul alates aja­hetkest t = 0;
    Vastus. v_k =  m/s
  2. 1 sekundi jooksul alates aja­hetkest t = 4;
    Vastus. v_k =  m/s
  3. 2 sekundi jooksul alates aja­hetkest t = 5.
    Vastus. v_k =  m/s

y=x^2
vk = 

y=\frac{3}{x}
vk = 

y=4x-8
vk = 

y=\cos x
vk = 

y=e^x
vk = 

y=\ln x
vk = 

Seotud sisu
Muud tegevused