Joone puutuja võrrand

Kursus „Jadad. Funktsiooni tuletis”
Joon. 3.24

Selle ülesande saaksime lahendada, kui oskaksime leida joont y=-0,25\left(x^2-25\right) punktis A puutuva sirge lõike­punkti x-teljega. Selleks aga peame oskama koostada joone puutuja võrrandit.

Joonele y=f\left(x\right) punktis \left(x_0;\ y_0\right) joonestatud puutuja võrrand avaldub kujul y=kx+b. Selles võrrandis oskame määrata sirge tõusu k:

k = f ' (x0).

Alg­ordinaadi b leidmiseks kasutame tõsi­asja, et punkt \left(x_0;\ y_0\right) asub puutujal. Kui mingi punkt asub sirgel, siis tema koordinaadid rahuldavad selle sirge võrrandit. Seega

y_0=f'\left(x_0\right)\cdot x_0+b,

millest b=y_0-f'\left(x_0\right)\cdot x_0.

Asendades tõusu ja leitud alg­ordinaadi võrrandisse y=kx+b, saame, et joonele y=f\left(x\right) punktis \left(x_0;\ y_0\right) joonestatud puutuja võrrand avaldub kujul:

y=f'\left(x_0\right)\cdot x+y_0-f'\left(x_0\right)\cdot x_0 ehk

y = f ' (x0) · (x – x0) + y0.

Näide 1.

Leiame paraboolile y=x^2+3x-1 kohal x_0=1 joonestatud puutuja võrrandi.

Arvutame esmalt puute­punkti ordinaadi:

y_0=1^2+3\cdot1-1=3.

Leiame see­järel punktis (1; 3) joonestatud puutuja tõusu. Et y'=2x+3, siis

k=f'\left(x_0\right) = y'\left(x_0\right) = 2\cdot1+3 = 5.

Asendame saadud arvud puutuja võrrandisse. Saame

y=5x-2.

Vastus. Puutuja võrrand on y=5x-2.

Näide 2.

Paraboolile y=\frac{1}{2}x^2+3x-1 on joonestatud sirgega x-2y+2=0 paralleelne puutuja. Leiame selle puutuja võrrandi.

Et paralleelsete sirgete tõusud on võrdsed, siis on otsitava puutuja tõus võrdne antud sirge tõusuga. Avaldame antud sirge võrrandist muutuja y:

y=\frac{1}{2}x+1.

Seega puutuja tõus k=\frac{1}{2}.

Leiame nüüd paraboolil punkti, mida läbiva puutuja tõus on \frac{1}{2}. Selleks tuleb lahendada võrrand f'\left(x\right)=\frac{1}{2}. Saame, et x+3=\frac{1}{2}, millest x_0=-2\frac{1}{2}.

Funktsiooni y=\frac{1}{2}x^2+3x-1 väärtus sellel kohal y_0=-5\frac{3}{8}.

Asendades saadud arvud puutuja võrrandisse, saame,

y=\frac{1}{2}x-4\frac{1}{8}.

Vastus. Puutuja võrrand on y=\frac{1}{2}x-4\frac{1}{8}.

Kontrollime saadud vastust joonestades arvutil funktsioonide y=\frac{1}{2}x^2+3x-1, y=\frac{1}{2}x+1 ja y=\frac{1}{2}x-4\frac{1}{8} graafikud (joon. 3.25).

Joon. 3.25
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

A\left(2;\ -3\right), \mathrm{\alpha}=45\degree

Vastus. y = 

A\left(0;\ 2\right), \mathrm{\alpha}=120\degree

Vastus. y = 

A\left(0;\ 0\right), \mathrm{\alpha}=90\degree

Vastus. x = 

A\left(-1;\ 3\right), k=\sqrt{3}

Vastus. y = , see sirge on .

A\left(0;\ -5\right), k=-1

Vastus. y = , see sirge on .

A\left(0;\ 0\right), k=0

Vastus. y = , see sirge on .

y=x^2+1, kui x_1=2 ja x_2=-1

Vastus. Kui x_1=2, siis y =  ja kui x_2=-1, siis y = .

y=-3x^2+2x-1, kui x_1=-2 ja x_2=3

Vastus. Kui x_1=-2, siis y =  ja kui x_2=3, siis y = .

y=xe^x, kui x_1=0 ja x_2=1

Vastus. Kui x_1=0, siis y =  ja kui x_2=1, siis y = .

y=\frac{x-1}{x+1}, kui x_1=2 ja x_2=-3

Vastus. Kui x_1=2, siis y =  ja kui x_2=-3, siis y = .

y=-\frac{1}{2}x^2-\sqrt{3}\cdot x, kui \mathrm{\alpha}=60\degree

Vastus. y = 

y=2\ln x, kui \mathrm{\alpha}=45\degree

Vastus. y = 

y=-e^x+3, kui \mathrm{\alpha}=135\degree

Vastus. y = 

y=xe^x, kui \mathrm{\alpha}=0\degree

Vastus. y = 

y=-x^2+3x, kui k=9

Vastus. y = 

y=x\ln x, kui k=2

Vastus. y = 

y=x-e^x, kui k=0

Vastus. y = 

y=\left(2x-1\right)^2+2, kui k=0

Vastus. y = 

Joon. 3.24

Vastus. Selle trossi teine ots tuleb kinnitada  m kaugusele angaari müürist.

Vastus. y = 

Leidke joone y=\frac{x-6}{x-2} puutuja võrrand, kui puute­punktiks on joone lõike­punkt y-teljega. Kontrollige saadud vastust arvuti abil tehtud jooniselt.

Vastus. y = 

Vastus. y = 

Seotud sisu
Muud tegevused