Funktsiooni kasvamine ja kahanemine

Kursus „Jadad. Funktsiooni tuletis”

Nägime, et informatsiooni funktsiooni käitumisest (kasvamine, kahanemine, ekstreemumid jne) mingis piir­konnas saab leida ka kasutamata arvuti abi. Selle ülesandega tuleme edukalt ja sageli oluliselt täpsemalt toime ka siis, kui teame vaid funktsiooni esitavat valemit ja oskame rakendada funktsiooni tuletist. Tutvumegi järgnevas selliste ülesannetega.

Olgu funktsioon f\left(x\right) diferentseeruv mingis vahemikus \left(a;\ b\right), s.t funktsioonil f\left(x\right) on iga x\in\left(a;\ b\right) korral tuletis f′\left(x\right). See tuletis võib olla kas positiivne, negatiivne või null. Kui

  1. f\left(x\right)>0, siis moodustab funktsiooni graafiku puutuja abstsiss­telje positiivse suunaga terav­nurga,
  2. f′\left(x\right)<0, siis nüri­nurga ja
  3. f′\left(x\right)=0, siis on graafiku puutuja paralleelne abstsiss­teljega.
Joon. 3.26

Jooniselt 3.26a näeme, et kui iga x\in\left(a;\ b\right) korral moodustab funktsiooni graafiku puutuja abstsiss­telje positiivse suuna suhtes terav­nurga, siis on see funktsioon vahemikus \left(a;\ b\right) kasvav. Kui aga iga x\in\left(a;\ b\right) korral on see nurk nüri­nurk, siis on funktsioon vahemikus \left(a;\ b\right) kahanev (joonis 3.26b).

Seega,

kui f '(x) > 0 vahemikus (a; b), siis on funktsioon selles vahemikus kasvav;

kui f '(x) < 0 vahemikus (a; b), siis on funktsioon selles vahemikus kahanev.

Küsime nüüd, kas ülal­toodud tingimus on vältimatult vajalik, s.o tarvilik selleks, et funktsioon oleks antud vahemikus kasvav (kahanev). Seega küsime, kas selleks, et funktsioon oleks mingis vahemikus kasvav (kahanev), peab tema tuletis selle vahemiku igas punktis tingimata olema positiivne (negatiivne). Jooniselt 3.26 näeme, et funktsioon võib olla vahemikus \left(a;\ b\right) kasvav (kahanev) ka juhul, kui mingi x korral sellest vahemikust f′\left(x\right)=0 (joonis 3.26c) või see tuletis puudub üldse (joonis 3.26d).

Nii­siis, selleks et leida funktsiooni kasvamis- ja kahanemis­vahemikke, tuleb lahendada vastavalt kas võrratus f '(x) > 0 või f '(x) < 0. Nende võrratuste lahendi­hulgad ühtivadki üld­juhul funktsiooni f (x) kasvamis- ja kahanemis­vahemikkudega.

Kui funktsiooni tuletis mingi x korral puudub või on võrdne nulliga, siis tuleb selgitada, kas sellel kohal toimub kasvamise üle­minek kahanemiseks või vastu­pidi. Kui ei, siis loetakse ka see argumendi väärtus vastavalt kas siis kasvamis- või kahanemis­vahemikku kuuluvaks.

Näide 1.

Leiame funktsiooni y=2x^3+1 kasvamis- ja kahanemis­vahemikud.

Selleks lahendame võrratused y'>0 ja y'<0.

Leiame funktsiooni tuletise: y'=6x^2.

Võrratusest 6x^2>0 saame, et funktsioon kasvab vahemikes \left(-∞;\ 0\right) ja \left(0;\ ∞\right).

Kuna kohal x=0 on funktsiooni tuletis võrdne nulliga, siis kontrollime, kas sellel kohal toimub kasvamise üle­minek kahanemiseks. Kuna seda ei toimu, loeme ka x=0 kuuluvaks kasvamis­vahemikku. Seega antud funktsioon kasvab vahemikus \left(-∞;\ ∞\right) ehk kogu oma määramis­piirkonnas.

Näide 2.

Selgitame, kas argumendi väärtus x_0=1 kuulub funktsiooni y=x^3-12x kasvamis- või kahanemis­vahemikku.

Määrame antud funktsiooni tuletise märgi kohal x_0=1. Et y'=3x^2-12 ja y'\left(1\right)=3\cdot1^2-12=-9<0, siis argumendi väärtus x_0=1 kuulub antud funktsiooni kahanemis­vahemikku.

Vastus. Argumendi väärtus x_0=1 kuulub funktsiooni y=x^3-12x kahanemis­vahemikku.

Näide 3.

Leiame funktsiooni y=2x^3-54x kasvamis- ja kahanemis­vahemikud.

Selleks lahendame võrratused y′>0 ja y′<0.

Leiame funktsiooni tuletise: y'=6x^2-54.

Võrratusest 6x^2-54>0 saame, et vaadeldav funktsioon kasvab vahemikes \left(-∞;\ -3\right) ja \left(3;\ ∞\right) (joonis 3.27).

Joon.3.27

Analoogiliselt, võrratusest 6x^2-54<0 saame, et funktsioon y=2x^3-54x kahaneb vahemikus (–3; 3).

Vastus. Funktsioon y=2x^3-54x kasvab vahemikes \left(-∞;\ -3\right) ja \left(3;\ ∞\right) ning kahaneb vahemikus \left(-3;\ 3\right).

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded

y=x^2-4x+7, x_0\in\left\{1;\ 2;\ 3\right\}

Vastus. Kasvamis­vahemikku kuuluvad argumendi väärtus(ed)  ja kahanemis­vahemikku argumendi väärtus(ed) .

y=\left(3x-2\right)\left(x+3\right), x_0\in\left\{-1;\ -2;\ -3\right\}

Vastus. Kasvamis­vahemikku kuuluvad argumendi väärtus(ed)  ja kahanemis­vahemikku argumendi väärtus(ed) .

y=4x^3-x^2-x+15, x_0\in\left\{0;\ -0,5;\ 1\right\}

Vastus. Kasvamis­vahemikku kuuluvad argumendi väärtus(ed)  ja kahanemis­vahemikku argumendi väärtus(ed) .

y=-\frac{1}{3}x^3-2x^2+12x+9, x_0\in\left\{-7;\ 1;\ 2\right\}

Vastus. Kasvamis­vahemikku kuuluvad argumendi väärtus(ed)  ja kahanemis­vahemikku argumendi väärtus(ed) .

y=\frac{x-1}{2x-1}, x_0\in\left\{0;\ 0,5;\ 1\right\}

Vastus. Kasvamis­vahemikku kuuluvad argumendi väärtus(ed)  ja kahanemis­vahemikku argumendi väärtus(ed) .

y=0,25x-\ln x, x_0\in\left\{3;\ 3,7;\ 4,2\right\}

Vastus. Kasvamis­vahemikku kuuluvad argumendi väärtus(ed)  ja kahanemis­vahemikku argumendi väärtus(ed) .

y=\left(1-10x\right)e^x, x_0\in\left\{-0,8;\ -0,87;\ -1\right\}

Vastus. Kasvamis­vahemikku kuuluvad argumendi väärtus(ed)  ja kahanemis­vahemikku argumendi väärtus(ed) .

y=-0,5x+\ln x, x_0\in\left\{1,9;\ 1,95;\ 2,05\right\}

Vastus. Kasvamis­vahemikku kuuluvad argumendi väärtus(ed)  ja kahanemis­vahemikku argumendi väärtus(ed) .

y=0,25x-\ln x, x_0\in\left\{3;\ 3,7;\ 4,2\right\}

Vastus. Kasvamis­vahemikku kuuluvad argumendi väärtus(ed)  ja kahanemis­vahemikku argumendi väärtus(ed) .

Milles seisnevad algebralise lahendamise eelised ja puudused võrreldes lahendamisega arvutil?

y=\left(1-10x\right)e^x, x_0\in\left\{-0,8;\ -0,87;\ -1\right\}

Vastus. Kasvamis­vahemikku kuuluvad argumendi väärtus(ed)  ja kahanemis­vahemikku argumendi väärtus(ed) .

Milles seisnevad algebralise lahendamise eelised ja puudused võrreldes lahendamisega arvutil?

y=-0,5x+\ln x, x_0\in\left\{1,9;\ 1,95;\ 2,05\right\}

Vastus. Kasvamis­vahemikku kuuluvad argumendi väärtus(ed)  ja kahanemis­vahemikku argumendi väärtus(ed) .

Milles seisnevad algebralise lahendamise eelised ja puudused võrreldes lahendamisega arvutil?

y=2x+3

Vastus. X↑ = ; X↓ = 

y=-4x+3

Vastus. X↑ = ; X↓ = 

y=x^2-2x+5

Vastus. X↑ = ; X↓ = 

y=5x^2-3x+1

Vastus. X↑ = ; X↓ = 

y=x^3-27x

Vastus. X1↑ = ; X2↑ = ; X↓ = 

y=x^2\left(x-3\right)

Vastus. X1↑ = ; X2↑ = ; X↓ = 

y=-x^3+15x^2-75x-3

Vastus. X↑ = ; X↓ = 

y=x^3-6x^2+45x+3

Vastus. X↑ = ; X↓ = 

y=x^3+6x^2-15x+6

Vastus. X1↑ = ; X2↑ = ; X↓ = 

y=x^3-9x^2+24x-3

Vastus. X1↑ = ; X2↑ = ; X↓ = 

Vastus. Bakterite arv väheneb, kui t ∈  ja suureneb, kui t ∈ .

Punkt liigub aja­intervallis \left[0;\ 5\right] sirg­jooneliselt seaduse s\left(t\right)=-\frac{1}{3}t^3+2t^2+5t järgi (aega mõõdetakse sekundites, tee­pikkust meetrites).

Millises aja­vahemikus on selle punkti liikumise kiirus kasvav, millises kahanev?

Vastus. Punkti liikumise kiirus on kasvav, kui t ∈  ja kahanev, kui t ∈ .

Kontrollige saadud vastuse õigsust arvutil, kasutades funktsiooni v(t) graafikut.

Sirg­jooneliselt liikuva keha asu­koht sirgel aja­vahemikus \left[0;\ 4\right] on määratud valemiga s\left(t\right)=-\frac{t^3}{3}+2t^2-4 (aega mõõdetakse sekundites, tee­pikkust meetrites).

Millises aja­vahemikus on selle keha liikumise kiirus kasvav, millises kahanev?

Vastus. Selle keha liikumise kiirus on kasvav, kui t ∈  ja kahanev, kui t ∈ .

Otse üles lastud kuul liigub seaduse s\left(t\right)=v_0t-\frac{gt^2}{2} järgi, kus s (t) on kuuli kaugus lähte­punktist hetkel t, v_0 alg­kiirus ja g vaba langemise kiirendus (kasutatavad ühikud meeter ja sekund).

Leidke aja­vahemik pärast tulistamist, mille jooksul kuuli kiirus kahaneb, kui v_0=200\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} ja g=9,8\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}.

Vastus. Kuuli kiirus kahaneb, kui t ∈ .

  • Millistel päevadel haigestunute protsent suureneb, millistel väheneb?
    Vastus. Haigestunute protsent suureneb esimesed  päeva ja väheneb alates . päevast.
  • Millistel päevadel haigestunute protsendi muutumise kiirus kasvab, millistel kahaneb?
    Vastus. Haigestunute protsendi muutumise kiirus kasvab esimesed  päeva ja väheneb alates . päevast.
Seotud sisu
Muud tegevused