Arvu logaritm

Võrdus ar = N, kus a > 0 ja a ≠ 1, seob kolme arvu. Kui neist arvudest on kaks antud, saame leida kolmanda. Nii leiame arvu N arvude a ja r kaudu astendamise teel ning arvu a arvude r ja N kaudu juurimise teel: a=\sqrt[r]{N}.

Näide 1.

Näiteks, kui a = 2 ja r = 4, siis N = 24 = 16;

kui aga N = 216 ja r = 3, siis a3 = 216, millest a=\sqrt[3]{216}=16.

Selgitame, kuidas saab võrdusest ar = N arvude a ja N järgi leida astendajat r.

Olgu 2r = 32. Proovimise teel leiame, et r = 5, sest 25 = 32. Seda tulemust kirjutatakse sümboleis järgmiselt: r = log2 32 = 5. Sümbolit log2 32 loetakse logaritm alusel 2 arvust 32 või kahend­logaritm 32-st.

Üldiselt: kui ar = N, kus a > 0 ja a ≠ 1, siis r = loga N. Arvu r = loga N tähenduse annab see­juures definitsioon:

arvu N logaritmiks alusel a nimetatakse arvu r, millega alust a astendades saadakse arv N,

s.t

r=logaN⇔ar=N

ehk

alogaN=N.

Järeldusi.

  1. Logaritmi saab leida vaid positiivsest arvust, s.t N > 0.
  2. Logaritm logaritmi alusest on üks, s.t loga a = 1.
  3. Logaritm ühest on null, s.t loga 1 = 0.

Arvu logaritmi mõistega seotud nimetused on järgmised:

Näide 2.

\log_381=4, sest 3^4=81

\log_{10}100=2, sest 10^2=100

\log_aa^{12}=12

a^{\log_a4}=4

5^{2\log_33}=\left(5^{\log_33}\right)^2=9

\log_{0,5}2=-1, sest 0,5^{-1}=2

\log_{\sqrt{2}}8=6, sest \left(\sqrt{2}\right)^6=8

\log_ee^7=7

0,3^{\log_{0,3}8}=8

2^{-\log_25}=\left(2^{\log_25}\right)^{-1}=5^{-1}=0,2

Näide 3.

Leiame logaritmitava N, kui \log_{27}\ N=\frac{1}{3}.

Arvu logaritmi definitsiooni kohaselt 27^{\frac{1}{3}}=N, millest N=\sqrt[3]{27}=3.

Näide 4.

Kui \log_{a\ }3=\frac{1}{4}, siis a^{\frac{1}{4}}=3, mida astendades arvuga 4 saame, et a = 34 = 81.

Kui logaritmi alus a = 10, siis lühiduse mõttes kirjutatakse log10 N asemel log N (mõnes raamatus lg N), mida loetakse kümnend­logaritm N-st. Kui aga logaritmi alus a = e, siis kirjutatakse loge N asemel ln N, mida loetakse naturaal­logaritm N-st või loomulik logaritm N-st.

Näide 5.

Kui log N = –2, siis N = 10–2 = 0,01; kui ln N = 2, siis N = e2 ≈ 7,39.

Arvu N logaritme log N ja ln N leitakse tasku­arvuti abil. Selleks on tasku­arvutil klahvid lg või log ja ln. Arvutus­skeemid log N ja ln N leidmiseks on järgmised:

N log ja N ln   või   log N = ja ln N =.

Näide 6.

Suuruse log 0,00708 arvutame skeemi 0,00708 log või log 0,00708 = järgi, tulemuseks saame, et log 0,00708 ≈ –2,149967, mis tähendab seost 10–2,149967 ≈ 0,00708.

Suuruse ln 2783 arvutame skeemi 2783 ln või ln 2783 = järgi, tulemuseks saame, et ln 2783 ≈ 7,931285, mis tähendab seost e7,931285 ≈ 2783.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded A

Ülesanne 624. Arvu logaritm

10^2=100

5^4=625

16^{0,25}=2

64^{\frac{1}{2}}=8

11^3=1331

12^2=144

4^{-2}=\frac{1}{16}

5^{-2}=0,04

3^{-4}=\frac{1}{81}

Ülesanne 625. Logaritmi väärtuse leidmine

\log_28 = 

\log_525 = 

\log_33 = 

\log10^3 = 

\log0,01 = 

\log1 = 

\mathrm{\ln}\ e^{-2} = 

\mathrm{\ln}\ e^4 = 

\mathrm{\ln}\ e = 

\log_{\sqrt{3}}3 = 

\log_{\sqrt{2}}\frac{1}{32} = 

\log_{\sqrt{5}}5^{-2} = 

\log_{\frac{1}{9}}9 = 

\log_{\frac{4}{5}}0,64 = 

\log_{0,35}0,1225 = 

\log\sqrt{10} = 

\log_5\sqrt[3]{25} = 

\log_{\sqrt{3}}\sqrt{81} = 

Ülesanne 626. Logaritmitava leidmine

\log_3\ N=4
N = 

\log_2\ N=6
N = 

\log_4\ N=3
N = 

\log_{1,5}\ N=2
N = 

\log_{\sqrt{3}}\ N=4
N = 

\log_{0,4}\ N=4
N = 

\log_5\ N=-3
N = 

\log_2\ N=-5
N = 

\log_{\sqrt{5}}\ N=-6
N = 

\log\ N=5
N = 

\log\ N=1,5
N = 

\log\ N=-3
N = 

\mathrm{\ln}\ N=-3
N = 

\mathrm{\ln}\ N=0
N = 

\mathrm{\ln}\ N=-1
N = 

Ülesanne 627. Logaritmi aluse leidmine

\log_a\ 8=3
a = 

\log_a\ 10=1
a = 

\log_a\ 8=6
a = 

\log_a\ \frac{1}{64}=6
a = 

\log_a\ 0,008=3
a = 

\log_a\ 3=2
a = 

\log_a\ r^4=4
a = 

\log_a\ e^5=5
a = 

\log_a\ r=5
a = 

\log_a\ 2=-1
a = 

\log_a\ 100=-2
a = 

\log_a\ 1=0
a ∈ 

Ülesanne 628. Arvutamine

5^{\log_53} = 

4^{\log_41} = 

0,21^{\log_{0,21}5} = 

3^{-\log_32} = 

12^{-\log_{12}1,9} = 

2^{3\log_85} = 

3^{2\log_94} = 

9^{0,5\log_37} = 

2^{3\log_25} = 

Ülesanne 629. Logaritmi väärtuse leidmine

\log\ 0,04572 ≈ 

\mathrm{\ln}\ 2,073 ≈ 

\log\ 100 = 

\log\ 2346,25 ≈ 

\mathrm{\ln}\ 0,054 ≈ 

\log\ 0,001 = 

\log\left(1,6\cdot10^{-6}\right) ≈ 

\mathrm{\ln}\ 444,9 ≈ 

\log\ 0,01 = 

\log\ 618390 ≈ 

\mathrm{\ln}\ 0,003 ≈ 

\mathrm{\ln}\ 1 = 

Ülesanne 630. Logaritmitava leidmine

\log x=1,8945
x ≈ 

\mathrm{\ln}\ x=3,0525
x ≈ 

\log x=3,72
x ≈ 

\mathrm{\ln}\ x=0,0463
x ≈ 

\log\ x=0,3010
x ≈ 

\mathrm{\ln}\ x=-1,5
x ≈ 

\log\ x=-5,4
x ≈ 

\mathrm{\ln}\ x=-11,3
x ≈ 

\mathrm{\ln}\ x=0,5
x ≈ 

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded B

Ülesanne 631. Arvutamine

5^{4\log_52} = 

6^{2+\log_63} = 

0,8^{\log_{0,8}\left(\sqrt{2}+1\right)} = 

2^{3-\log_25} = 

10^{\log11} = 

10^{2+\log1,5} = 

e^{\ln103} = 

e^{\ln2+\ln9} = 

2^{\log_210-\log_23} = 

Ülesanne 632. Arvude kirjutamine arvu 10 ja arvu e astmetena

Antud arv

Arvu 10 aste

Arvu e aste

125

1,25

125 000

Antud arv

Arvu 10 aste

Arvu e aste

0,00125

2

5,6709

Antud arv

Arvu 10 aste

Arvu e aste

456 781

2,4 · 105

7,09 · 10–9

Antud arv

Arvu 10 aste

Arvu e aste

2,723

–27,53

–0,0002

Seotud sisu
Muud tegevused