Avaldise logaritmimine ja potentseerimine

Vaatleme mõningaid logaritmide omadusi. Tuletame see­juures meelde, et logaritmi saab leida vaid positiivsest arvust, mis tähendab, et järgmised seosed kehtivad vaid positiivsete logaritmitavate korral.

TEOREEM 1.

Korrutise logaritm võrdub tegurite logaritmide summaga, s.t
loga N1N2 = loga N1 + loga N2.

Tõestus.

Olgu loga N1 = r1 ja loga N2 = r2.

Siis N_1=a^{r_1} ja N_2=a^{r_2} ning N_1N_2=a^{r_1}\cdot a^{r_2}=a^{r_1+r_2}.

Logaritmi definitsiooni põhjal saame võrdusest N_1N_2=a^{r_1+r_2}, et

r_1+r_2=\log_aN_1N_2   ehk   \log_aN_1N_2=\log_aN_1+\log_aN_2. ♦

Näide 1.

Arvutame log 200, kui on teada, et log 2 ≈ 0,3010. Et 200 = 2 · 100, siis

log 200 = log (2 ⋅ 100) = log 2 + log 100 ≈ 0,3010 + 2 ≈ 2,3010.

TEOREEM 2.

Jagatise logaritm võrdub jagatava ja jagaja logaritmide vahega, s.t
logaN1N2=logaN1-logaN2​.

Tõestus.

Olgu loga N1 = r1 ja loga N2 = r2, s.t N_1=a^{r_1} ja N_2=a^{r_2}. Siis

\frac{N_1}{N_2}=\frac{a^{r_1}}{a^{r_2}}=a^{r_1-r_2}.

Logaritmi definitsiooni põhjal saame võrdusest \frac{N_1}{N_2}=a^{r_1-r_2}, et

r_1-r_2=\log_a\frac{N_1}{N_2}   ehk   \log_a\frac{N_1}{N_2}=\log_aN_1-\log_aN_2. ♦

Näide 2.

Arvutame log 0,0002, teades, et log 2 ≈ 0,3010. Et 0,0002 = 2 : 10 000, siis

\log0,0002 = \log\frac{2}{10\ 000} = \log2-\log10\ 000 ≈ 0,3010-4 = -3,6990.

TEOREEM 3.

Astme logaritm võrdub astendaja ja astme aluse logaritmi korrutisega s.t
​loga Nc = c loga N.

Tõestus.

Olgu loga N = r, siis N=a^r ja N^c=a^{cr}. Logaritmi definitsiooni põhjal saame viimasest võrdusest, et

cr=\log_aN^c   ehk   \log_aN^c=c\log_aN. ♦

Näide 3.

Arvutame \log\sqrt[3]{2}, kui on teada, et log 2 ≈ 0,3010. Kuna \sqrt[3]{2}=2^{\frac{1}{3}}, siis

\log\sqrt[3]{2} = \log2^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3}\log2 ≈ 0,1003.

Saadud valemeid kasutatakse ka avaldiste logaritmimisel, s.t avaldiste logaritmide avaldamisel neis esinevate suuruste logaritmide kaudu.

Näide 4.

Logaritmime avaldise y alusel a, kui

y=\frac{49x^3}{8u^5\sqrt[3]{v^2}} ja x, u, v > 0:

\log_ay = \log_a\frac{49x^3}{8u^5\sqrt[3]{v^2}} = \log_a49x^3-\log_a8u^5\sqrt[3]{v^2} = \log_a49+\log_ax^3-\left(\log_a8+\log_au^5+\log_av^{\frac{2}{3}}\right) = 2\log_a7+3\log_ax-3\log_a2-5\log_au-\frac{2}{3}\log_av.

Näide 5.

Arvutame avaldise 4u4v5 kümnend­logaritmi, kui on teada, et log 2 ≈ 0,301, log u = 2,5 ja log v = –3.

\log4u^4v^5 = \log4+\log u^4+\log v^5 = 2\log2+4\log u+5\log v ≈ 2\cdot0,301+4\cdot2,5+5\cdot\left(-3\right) = -4,398.

Näide 6.

Lahendame eksponent­võrrandi 3x = 23,5.

Logaritmime antud võrduse mõlemaid pooli alusel 10:

\log3^x=\log23,5 ⇒ x\log3=\log23,5, millest x=\frac{\log23,5}{\log3}\approx2,874.

Avaldise logaritmi või arvu logaritmi järgi vastava avaldise või arvu leidmist nimetatakse potentseerimiseks. See­juures tuleb logaritme sisaldavate avaldiste teisendamisel kasutada tuletatud valemeid n-ö tagur­pidi.

Näide 7.

Leiame arvu x, kui log9 x = 2,5.

Arvu x leidmiseks potentseerime võrdust log9 x = 2,5. Tulemusena saame, et x = 92,5 ehk x = 35 = 243.

Näide 8.

Leiame avaldise z, kui \log_7z=6\log_72+3\log_7u+\frac{2}{3}\log_7v-4\log_7w.

Avaldise z leidmiseks teisendame antud võrduse paremat poolt:

6\log_72+3\log_7u+\frac{2}{3}\log_7v-4\log_7w = \log_72^6+\log_7u^3+\log_7v^{\frac{2}{3}}-\log_7w^4 = \log_764u^3\sqrt[3]{v^2}-\log_7w^4 = \log_7\frac{64u^{3\sqrt[3]{v^2}}}{w^4}.

Võrduse \log_7z=\log_7\frac{64u^3\sqrt[3]{v^2}}{w^4} potentseerimisel saame:

z=\frac{64u^3\sqrt[3]{v^2}}{w^4}.

Näide 9.

Aastatel 1970–2006 kasvas Aafrika rahvastik keskmiselt 2,62% aastas ja oli 2006. aastaks 925 miljonit. Leiame, mis ajaks kahe­kordistub Aafrika rahva­arv.

Et rahvastik kasvab liit­protsendilise kasvamise seaduse järgi, siis

925 ⋅ (1 + 2,62 : 100)n = 2 ⋅ 925, millest 1,0262n = 2.

Logaritmime võrdust alusel 10: log 1,0262n = log 2. Kasutades astme logaritmi omadust, on n ⋅ log 1,0262 = log 2 ja n = log 2 : log 1,0262 ≈ 26,8. Seega kahe­kordistub Aafrika rahva­arv, võrrelduna 2006. aastaga, aastal 2033.

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded A

Ülesanne 633. Avaldise logaritmimine

xy^2, kui a = 10

8x^{-4}y^6, kui a = 2

u^9:\ c^3, kui a = e

b^2\left(c^5b^8\right), kui a = b

27x^{12}y^5z^{-3}, kui a = 3

81u^{1,5}\sqrt{v^5}, kui a = 2

Ülesanne 634. Arvutamine

\log32 =  = 

\log0,04 =  = 

\log\sqrt{5} =  = 

\log\sqrt[5]{2} =  = 

\log\sqrt[3]{5} =  = 

\log\sqrt[4]{2} =  = 

\log\frac{2}{5} =  = 

\log\frac{25}{128} =  = 

\log\left(2^{-7}\cdot5^4\right) =  = 

\log12,5 =  = 

\log0,8 =  = 

\log100 =  = 

Ülesanne 635. Arvutamine

Arv

Arvu kümnend­logaritm

19,5

195

1950

19 500

Arv

Arvu kümnend­logaritm

0,195

0,00195

1,95 ⋅ 10–10

19,55

Ülesanne 636. Potentseerimine

\log x=0,51\log a
x = 

\log x=3\ \log a+\log b
x = 

\log x=-\log u
x = 

\log x=2\ \log u-3\log v
x = 

\log x=0,5\log a+5\log b
x = 

\log x=u\log2-2\log u
x = 

\log x=1+\log b-\log a
x = 

\log x=3-\log5-\log c
x = 

\ln x=5\ln2\ +3\ln a
x = 

\ln x=-4\ln a-\ln\left(a+b\right)
x = 

\log_7x=\log_7c-91\log_7b
x = 

\log_2x=0,25\log_216-\log_2a
x = 

Ülesanne 637. Logaritm­võrrandi lahendamine

\log x=2\log7+\log2
x = 

\log2-\log x=\log3
x = 

\log_4x=3\log_42+\frac{2}{3}\log_45
x = 

\log_2x+4\log_23-1=0
x = 

\ln3+\frac{1}{2}\ln5+\frac{1}{2}\ln x=\ln6
x = 

\ln x-\ln\left(x-1\right)=\ln2
x = 

5\log_2x=3\log_2x+6
x = 

2\log x-\log12=\log x
x = 

Ülesanne 638. Euroopa ja Aasia rahva­arv

Vastus. Euroopa rahvastik kasvas keskmiselt % aastas. Kasvu senisel jätkumisel kahe­kordistub Euroopa rahva­arv  aastaga.

Vastus. Aasia rahvastik kasvas keskmiselt % aastas. Kasvu senisel jätkumisel kahe­kordistub Aasia rahva­arv  aastaga.

Ülesanne 639. Autoostu raha kogumine

Vastus. Joosep saab selle auto osta  aasta pärast.

Ülesanne 640. Auto pidurdus­tee
Joon. 3.13

Vastus. a = , b = 

y = 

Arvutage auto pidurdus­tee pikkus täis­meetrites, ümardades tulemuse üles­poole lähimaks 5-ga või nulliga lõppevaks arvuks, kiiruste 45 km/h, 65 km/h, 95 km/h, 120 km/h korral ja võrrelge tulemusi jooniselt saadavatega.

Vastus. Kiirusel 45 km/h on auto pidurdus­tee pikkus  m; kiirusel 65 km/h  m; kiirusel 95 km/h  m; kiirusel 120 km/h  m.

Ülesanne 641. Vee jahtumine
  • Kujutage tabeli andmete põhjal jahtuva keha temperatuuri ja aja vaheline seos graafiliselt.
  • Eeldades, et kõne­alune seos avaldub kujul T = ae–bx, kus muutuja x on aeg ja T temperatuur, leidke parameetrid a ja b.

    Vastus. a = °, b = 
  • Arvutage vee temperatuur, kui nõu koos veega on jahtunud 2; 15; 43; 50 minutit.

    Vastus. Kui nõu koos veega on jahtunud 2 minutit, siis on vee temperatuur °; kui 15 minutit, siis °; kui 43 minutit, siis °; kui 50 minutit, siis °.
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanded B

Ülesanne 642. Avaldise logaritmimine

a\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}

a^{4n+5}

u\sqrt[4]{v^3}\ :\ \left(v^3\sqrt[5]{u^2}\right), kui a = 3

4u\sqrt[8]{u^3v^{-2}}, kui a = 4

Ülesanne 643. Arvutamine

\log\frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt{2}} =  = 

\log\frac{10}{\sqrt{5}} =  = 

\log\frac{5}{2} =  = 

\log2\sqrt{5} =  = 

\log\left(\sqrt{2}\cdot\sqrt[4]{5}\right) =  = 

\log\left(5\cdot\sqrt[5]{2}\right) =  = 

Ülesanne 644. Eksponent­võrrandi lahendamine

2^x=80
x ≈ 

5^x=1,7
x ≈ 

4^x=0,033
x ≈ 

1,4^x=9
x ≈ 

0,8^x=5
x ≈ 

45^x=1000
x ≈ 

Ülesanne 645. Eksponent­võrrandi lahendamine

2^{4x}=2^{3,5}
x = 

3,09^x=2,63^{x+1}
x ≈ 

2^x=3^{5-x}
x ≈ 

7,08^{4x}=9,55^{5x-5}
x ≈ 

Ülesanne 646. Tõestamine

Ülesanne 647. Tõestamine

Positiivsete arvude x1, x2, …, xn geomeetriline keskmine defineeritakse valemiga \overline{x_g}=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot...\cdot x_n}.

Tõestage, et antud arvude logaritmide aritmeetiline keskmine võrdub nende arvude geomeetrilise keskmise logaritmiga.

Ülesanne 648. Geomeetriline keskmine

Antud arvud

Geomeetriline keskmine

240; 540

8; 27; 125

18; 49; 84

2; 6; 9; 12

Ülesanne 649. Tõestamine

Tõestage, et a2 + b2 = 7ab, kui \log\frac{a+b}{3}=\frac{\log a+\log b}{2}.

Ülesanne 650. Tõestamine

Tõestage, et \frac{a+1-2b}{2}=\log5, kui a = log 122,5, b = log 7.

Ülesanne 651. Autode piki­vahe
Joon. 3.13

Vastus. Maksimaalne kiirus võib olla ligikaudu  km/h.

Ülesanne 652. Bakterite paljunemine

Vastus. k = . Bakterite mass kahe­kordistub  tunni pärast.

Ülesanne 653. Pinnase kalde­nurga ja puidu­koguse vaheline seos

Eeldades, et pinnase kalde­nurga x ja puidu­koguse y vaheline seos avaldub kujul y = axb + c, leidke parameetrid a, b ja c.

Vastus. a = , b = , c = .

Arvutage saadav puidu­kogus pinnase kalde­nurkade 8°, 15°, 30°, 42°, 50°, 55°, 60° korral.

Pinnase kalde­nurk

8°

15°

30°

42°

50°

55°

60°

Puidu­kogus

Ülesanne 654. Ahvenad ja särjed
Joon. 3.14

Joonis pärineb M. Kanguri artiklist „Kala pikkuse ja kaalu vahelisest seosest”, „Eesti Loodus”, 1970, nr 7, lk 445.

Vastus. Ahvena korral a = , b =  ja särje korral a = , b = .

  • Arvutage kala mass, kui kala pikkus on 15 cm; 28 cm.

Vastus. 15 cm pikkuse ahvena mass on  grammi ja särjel  grammi. 28 cm pikkuse ahvena mass on  grammi ja särjel  grammi.

Ülesanne 655. Ahvenad ja särjed
Joon. 3.14

Joonis pärineb M. Kanguri artiklist „Kala pikkuse ja kaalu vahelisest seosest”, „Eesti Loodus”, 1970, nr 7, lk 445.

Vastus. Ahvena korral a = , c =  ja särje korral a = , c = .

  • Arvutage kala mass, kui kala pikkus on 15 cm; 28 cm.

Vastus. 15 cm pikkuse ahvena mass on  grammi ja särjel  grammi. 28 cm pikkuse ahvena mass on  grammi ja särjel  grammi.

Seotud sisu
Muud tegevused