Размещения и сочетания

Пример 1.

Сколькими различными способами могут по одному войти в класс первые 5 учеников, если все 25 учеников класса вышли на перемене в коридор?

Прежде всего необходимо выяснить, какие случаи нужно считать различными. Очевидно, что, выбрав каких-нибудь 5 учеников, нужно еще учесть, в каком порядке они входят в класс. Различными будут случаи, когда два ученика поменяются местами, например, кто-то пропустит следующего вперед и т.д. Математически такие соединения (5 учеников, входящих в класс первыми) считаются различными, если хоть один элемент (ученика) заменить другим и, вообще говоря, если порядок расположения элементов в двух соединениях будет различным. Далее рассуждаем следующим образом. Имеется 25 возможностей выбрать ученика, который войдет в класс первым. После этого для выбора следующего ученика остается 24 возможности. Аналогично, третьего ученика можно выбрать 23 способами, четвертого – 22 способами и пятого – 21 способом. По правилу умножения (должны войти как первый, так и второй, и третий, ...) получим, что число различных способов, которыми 5 первых учеников могут войти в класс, есть произведение 25 ⋅ 24 ⋅ 23 ⋅ 22 ⋅ 21 = 6 375 600.

Пример 2.

Группа в составе 10 туристов собирается в поход. Из них требуется выбрать руководство в составе руководителя похода, главного повара и летописца. Сколькими различными способами можно это сделать?

Составы руководства считаются различными, если они отличаются хоть одним членом или же распределением должностей (т. е. порядком элементов). Поэтому мы имеем дело с описанными выше соединениями и число различных способов равно произведению 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 720.

Пример 3.

Множество {a, b, c, d, e} имеет 10 трехэлементных подмножеств, а именно {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, e}, {a, c, d}, {a, c, e}, {a, d, e}, {b, c, d}, {b, c, e}, {b, d, e}, {c, d, e}. Все эти подмножества различны. Если теперь сделать в каждом таком подмножестве все возможные перестановки его элементов, то получим все возможные размещения из 5 элементов по 3. Например, из первого подмножества получим 6 возможных перестановок: abc, acb, bac, bca, cab, cba, из второго подмножества – еще 6 возможных перестановок и т. д. Всего из пяти элементов (a, b, c, d, e) получается 10 · 6 = 60 различных размещений по 3. Тот же результат получится, если применить правило умножения, т. е. найденное выше выражение $$ \underset{k \text{множителей}}{\underbrace{n·\left(n-1\right)·\left(n-2\right)·\dots ·\left(n-k+1\right)}}$$, что в нашем случае дает: 5 · 4 · 3 = 60.

Пример 4.

Из 20 девушек, посещающих спортивную школу, нужно составить волейбольную команду из 6 членов. Сколькими различными способами это можно сделать?

Составим сначала все такие команды, в которых, кроме состава участниц, учитывается и их порядок. Число таких команд равно числу размещений из 20 элементов по 6, т. е. произведению 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15. Но так как порядок участниц несущественен, то число команд нужно уменьшить в 6! раз, поскольку число команд с одним и тем же составом игроков равно числу всех перестановок, которые можно сделать среди 6 элементов (то есть P_6=6!). Таким образом, интересующее нас число команд равно

(20 · 19 · 18 · 16 · 15) : 6! = 38 760.

Пример 5.

Запишем формулу бинома Ньютона для случая (a + b)⁵.

Так как n = 5, то биномиальные коэффициенты найдем в пятой строке треугольника Паскаля, откуда

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵.

Пример 6.

Выразим (2x – x²)⁴. Биномиальные коэффициенты найдем в четвертой строке треугольника Паскаля. Получим:

(2x – x²)⁴ = [2x + (–x²)]⁴ =

= (2x)⁴ + 4(2x)³(–x²) + 6(2x)²(–x²)² + 4(2x)¹(–x²)³ + (–x²)⁴ =

= 16x⁴ – 4 · 8 · x³ · x² + 6 · 4 · x² · x⁴ – 8 · x · x⁶ + x⁸ =

= 16x⁴ – 32x⁵ + 24x⁶ – 8x⁷ + x⁸.