Случайные события

[cноска: Esimesed tõenäosuslikud ülesanded pärinevad hasart­mängudest ja kuuluvad 15. sajandisse. Tõenäosuse mõisteni jõuti aga 17. sajandil prantsuse matemaatikute Blaise Pascali ja Pierre de Fermat’ poolt. Nende koos­töö algas 1654. a, mil kirglik hasart­mängija Chevalier de Mere esitas Pascalile lahendamiseks hasart­mängudega seotud ülesande. Esimene raamat tõenäosus­teooriast ilmus 1657. a, autoriks hollandlane Christiaan Huygens.]Теория вероятностей[cноска: Первые задачи теории вероятностей восходят к попыткам анализа азартных игр и ведут свое начало с 15 века. Но само понятие вероятности было введено лишь в 17 веке французскими математиками Блезом Паскалем (Blaise Pascal) и Пьером де Ферма (Pierre de Fermat). Их сотрудничество началось в 1654 году, когда страстный игрок в кости шевалье де Мере обратился к Паскалю с просьбой решить задачу, связанную с азартными играми. Первая книга по теории вероятностей появилась в 1657 году, ее автором был голландский ученый Христиан Гюйгенс (Christiaan Huygens).] – это раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений. При этом одним из средств является понятие вероятности события[понятие: Событие (sündmus) – см. случайное событие.].

Вспомним, что такое случайное событие[понятие: Случайное событие (juhuslik sündmus) – событие, которое при данных условиях может произойти, но может и не произойти.].

Таким образом, в теории вероятностей[понятие: Теория вероятностей (tõenäosusteooria) – раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений.] для всякого случайного события имеется лишь две возможности: либо оно произойдет, либо не произойдет. Третьей возможности не существует (так называемый закон исключенного третьего[понятие: Закон исключенного третьего (välistatud kolmanda seadus) – для всякого случайного события имеется лишь две возможности: либо оно произойдет, либо не произойдет.]). В реальной жизни ситуация иногда бывает менее определенной. Например, если утром крыльцо покрыто каплями воды, то не всегда ясно, произошло ли событие «прошел дождь» или же нет.

Случайным событием является, например, выигрыш в лотерее, выпадение 6 очков при бросании игральной кости, попадание в «десятку» мишени при стрельбе в тире.

Для краткости и удобства ссылок события обозначают большими латинскими буквами A, B и т. д. или же символами A₁, A₂ и т. д.

Чаще всего одно и то же случайное событие А может произойти различными способами. Например, при одновременном бросании двух игральных костей (пусть они будут черной и белой) в сумме может выпасть 5 очков (назовем это событием А) четырьмя различными способами. Этими случаями являются 1 + 4, 2 + 3, 3 + 2, 4 + 1, где первое слагаемое означает число очков, выпавших на черной кости, а второе слагаемое – на белой. Перечисленные частные случаи, называемые благоприятствующими событию исходами испытания[понятие: Благоприятствующие событию исходы испытания (sündmuse soodsad võimalused) – исходы испытания, при которых происходит рассматриваемое событие.], являются для события А равновозможными[понятие: Равновозможные события (võrdvõimalikud sündmused) – исходы испытания, для которых нет никаких оснований для того, чтобы один из этих исходов имел какие-то преимущества перед другими.], так как нет никаких оснований для того, чтобы один из этих исходов имел какие-то преимущества перед другими. Каждый из равновозможных исходов 1 + 4, 2 + 3, 3 + 2, 4 + 1 может, в свою очередь, рассматриваться как событие. Поэтому такие события называются элементарными событиями[понятие: Элементарное событие (elementaarsündmus) – любой исход испытания, удовлетворяющего условиям:1) число возможных исходов конечно;2) при каждом испытании появляется только один из возможных исходов;3) все исходы равновозможны.], благоприятствующими появлению события А. Элементарные события уже нельзя разбить на отдельные частные случаи.

Элементарные события мы будем обозначать символами E₁, E₂, E₃, …

Благоприятствующие появлению события А исходы (выпадение в сумме 5 очков при бросании двух игральных костей) принадлежат множеству всех возможных исходов испытания. Таких исходов всего 36, так как на каждой из костей может выпасть от 1 до 6 очков. Эти исходы испытания также являются равновозможными и их также нельзя разбить на отдельные частные случаи. Подведем итоги: в случае одновременного бросания двух игральных костей имеется всего 36 возможных исходов испытания, т. е. 36 элементарных событий (1 + 1, 1 + 2, 1 + 3, …, 2 + 1, 2 + 2, …, 6 + 6), , из которых багоприятствующими событию А (выпадению в сумме 5 очков) являются 4 исхода.

Говорят, что множество всех элементарных событий {E₁, E₂, E₃, …, E_n} образует полную систему событий, или же является пространством элементарных событий[понятие: Пространство элементарных событий (elementaarsündmuste ruum) – множество всех элементарных событий данного испытания, т. е. множество всех различных элементарных исходов испытанияю. Слово "пространство" употребляется в математике во многих различных значениях.], если при каждом испытании реализуется в точности одно из этих событий, число возможных исходов конечно, т. е. равно некоторому числу n, и все исходы испытания равновозможны. Пространство элементарных событий обозначают символом Ω или U:

U = {E₁, E₂, E₃, …E_n}.

Если благоприятствующими событию являются все возможные исходы (элементарные события E₁, E₂, E₃, …, E_n), то такое событие называется достоверным событием[понятие: Достоверное событие (kindel sündmus) – событие, которое при данных условиях обязательно происходит при любом испытании.]. Таким образом, при заданных условиях достоверное событие обязательно происходит при любом испытании.

Например, достоверным является при бросании игральной кости событие, состоящее в том, что число выпавших очков является одним из чисел 1, 2, 3, 4, 5 или 6.

Достоверное событие обозначают также символом Ω[cноска: Ω – заглавная греческая буква омега.] или U.

Если же для события V не существует ни одного благоприятствующего исхода испытания, то такое событие называется невозможным событием[понятие: Невозможное событие (võimatu sündmus) – событие, которое при данных условиях никогда не может произойти, оно не имеет ни одного благоприятствующего исхода испытания.]. Это событие при данных условиях никогда не может произойти.

Например, невозможным событием является при бросании игральной кости выпадение 7 очков.

Невозможное событие обозначают символом ∅ или V.

События A и B считают равными[понятие: Равные события (võrdsed sündmused) – два события, определенные в одном и том же пространстве элементарных событий 𝑈, которые можно представить в виде одного и того же подмножества множества 𝑈. Например, если событие 𝐴 заключается в выпадении 2, 4 или 6 очков при бросании игральной кости, а событие 𝐵 – в выпадении четного числа очков.] и пишут A = B, если они имеют одни и те же благоприятствующие исходы в множестве элементарных событий E₁, E₂, E₃, …, E_n.

Например, если событие A заключается в выпадении не менее 5 очков при бросании одной игральной кости, а событие В – в выпадении более 4 очков, то оба эти события совпадают по существу, отличаясь лишь словесным описанием, значит, A = B.

Другими словами,

Для достоверного события Ω противоположным ему событием считается невозможное событие, т. е. \overline{\Omega} = ∅, а для невозможного события V = ∅ противоположным является достоверное событие, т. е. \overline{V} = Ω.