Классическая вероятность события

Очевидно, что невозможное, достоверное и некоторое случайное события можно упорядочить по степени их «ожидаемости» следующим образом: невозможное событие – случайное событие – достоверное событие. В то же время при большом числе повторений одного и того же испытания одни случайные события происходят чаще, чем другие. Например, при бросании игральной кости четное число очков выпадает чаще, чем делящееся на 5 число очков, так как в первом случае среди всех возможностей имеются три благоприятствующие (2, 4 или 6 очков), а во втором случае - только одна благоприятствующая возможность (5 очков).

В общем случае «степень ожидаемости» события определяется его вероятностью. Чем больше вероятность события, тем больше наша степень уверенности в том, что это событие наступит.

Напомним, как определяется классическая[cноска: Слово классическое указывает на то, что такое определение вероятности исторически возникло раньше всего. Имеются и другие определения вероятности.] вероятность события.

Вероятностью события[понятие: Классическая вероятность события (sündmuse klassikaline tõenäosus) – см. вероятность события.] А называется отношение числа k благоприятствующих этому событию элементарных событий (возможностей) к числу n всех элементарных событий (возможностей). Вероятность события А обозначается символом р или Р(А).
​Таким образом, Р(А) = kn.

Подчеркнем, что в случае этого определения относительно всех элементарных событий предполагается, что:

  1. их число (n) конечно,
  2. при любом испытании может произойти только одно из них,
  3. эти события равновозможны.

Пример 1.

Найдем вероятность: 1) выпадения четного числа очков (событие А); 2) выпадения делящегося на 5 числа очков (событие В) при бросании игральной кости.

  1. Число всех возможностей равно 6, из них благоприятствующими событию А являются 3 возможности.
    Следовательно, вероятность P\left(A\right)=\frac{3}{6}=0,5.
  2. Всех возможностей по-прежнему 6, но благоприятствует событию В только один исход.
    Следовательно, P\left(B\right)=\frac{1}{6}\approx0,17.​

Из классического определения вероятности вытекают следующие свойства вероятности.

1. Вероятность Р(А) события является числом, удовлетворяющим неравенствам 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Действительно, так как P\left(A\right)=\frac{k}{n} и 0 ≤ k ≤ n, то 0\le\frac{k}{n}\le1.

2. Вероятность достоверного события равна 1, т. е. P(U) = 1 .

В данном случае k = n и потому P\left(\Omega\right)=\frac{n}{n}=1.

3. Вероятность невозможного события равна 0, т. е. P(∅) = P(V) = 0 .

В данном случае k = 0, откуда P\left(\Omega\right)=\frac{0}{n}=0.

4. Сумма вероятности события A и вероятности противоположного события A¯ равна 1, т. е. P(A)+P(A¯)=1.

Действительно, если P\left(A\right)=\frac{k}{n}, то P\left(\overline{A}\right)=\frac{n-k}{n}, откуда P\left(A\right)+P\left(\overline{A}\right)=\frac{k}{n}+\frac{n-k}{n}=1.

Пример 2.

В предыдущем примере мы нашли, что вероятность выпадения четного числа очков (событие А) равна 0,5, т. е. Р(А) = 0,5. Так как противоположным событием \overline{A} является выпадение нечетного числа очков, то вероятность выпадения нечетного числа очков

P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=1-0,5=0,5.

При вычислении вероятности число благоприятствующих событию исходов испытания и число всех возможных исходов зачастую приходится находить с помощью формул и правил комбинаторики.

Пример 3.

В урне 8 белых и 12 черных шаров. Шары перемешали и вынули наугад 4 шара. Найдем вероятность того, что: 1) эти шары белые; 2) среди вынутых шаров не менее 2 белых.

  1. Общее число возможных элементарных событий n=C_{20}^4=4845, так как порядок шаров несущественен и любое взятие из урны четырех шаров из 20 возможных есть сочетание из 20 элементов по 4. Число благоприятствующих исходов k для выбора 4 белых шаров есть C_8^4=70. Поэтому вероятность p = 70 : 4845 = 0,014. Такое событие наблюдается довольно редко.
  2. Число всех возможностей n по-прежнему равно 4845. Благоприятствующие исходы наблюдаются в трех вариантах: 1) 2 белых и 2 черных шара; 2) 3 белых и 1 черный шар; 3) 4 белых шара. Число возможностей для каждого варианта найдем по правилу умножения, а затем общее число возможностей – сложив по правилу сложения результаты всех трех вариантов. 
    ​Получим: k=C_8^2\cdot C_{12}^2+C_8^3\cdot C_{12}^1+C_8^4=2590. 
    ​Соответствующая вероятность p=\frac{2590}{4845}\approx0,535. 
    Так как эта вероятность больше половины, то более вероятным является то, что рассматриваемое событие произойдет, чем то, что оно не произойдет.
Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения A

Задание 78. Бросание игральной кости

Ответ: P(простое число) = 

Задание 79. Извлечение карты из колоды
  1. карта бубновой масти?

    Ответ: P(A) = 
  2. туз?

    Ответ: P(B) = 
  3. «картинка» (т. е. король, дама или валет)?

    Ответ: P(C) = 
  4. картинка пиковой масти или туз?

    Ответ: P(D) = 
Задание 80. Выбор одного ученика
  1. юноша?

    Ответ: P(A) = 
  2. Лена?

    Ответ: P(B) = 
  3. кто-нибудь ростом более 180 cм?

    Ответ: P(C) = 
  4. Вы?

    Ответ: P(D) = 
Задание 81. Выражение вероятности в процентах

Задание 82. Бросание монеты

Ответ: вероятность того, что выпадет решка, равна.

Задание 83. Бросание двух монет
  1. два орла?

    Ответ: P(A) = 
  2. орел и решка?

    Ответ: P(B) = 
  3. хотя бы одна решка?

    Ответ: P(C) = 
Задание 84. Бросок снежком в стену
Рис. 1.5

Ответ: вероятность попадания в цветную плитку равна .

Задание 85. Извлечение шара из урны
  1. белым?

    Ответ: P(A) = 
  2. красным?

    Ответ: P(B) = 
  3. синим?

    Ответ: P(C) =
Задание 86. Извлечение шаров из урны
  1. белыми?

    Ответ: P(V) = 
  2. красными?

    Ответ: P(P) = 
  3. синими?

    Ответ: P(S) = 
  1. черными?

    Ответ: P(M) = 
  2. одного цвета?

    Ответ: P(S) = 
  3. разного цвета?

    Ответ: P(E) = 
Задание 87. Бросание игральной кости

Число очков

Вероятность

Задание 88. Бросание игральных костей

Ответ: элементарных событий всего .

  • Составьте на основании полученных результатов новую таблицу, в которой представлены различные суммы очков и соответствующие вероятности событий, состоящих в выпадения той или иной суммы.

  • Какое из этих событий имеет: 1) наибольшую вероятность; 2) наименьшую вероятность?

Ответ: 1) наибольшая вероятность p() =  и
2) наименьшие вероятности p() = p() = .

Задание 89. Изучение немецкого языка
  1. изучает немецкий язык?
    Ответ: вероятность того, что случайно выбранный учащийся этой школы изучает немецкий язык, равна .
  2. не изучает немецкий язык?
    Ответ: вероятность того, что случайно выбранный учащийся этой школы не изучает немецкий язык, равна  .
Задание 90. Раскладывание карточек с буквами
  1. слово вес?

    Ответ: P(вес) = 
  2. осмысленное слово?

    Ответ: P(осмысленное слово) = 
Задание 91. Извлечение шаров из урны

Ответ: вероятность такого события равна .

Задание 92. Выбор кубика
  1. три окрашенные грани?

    Ответ: P(A) = 
  2. только одну окрашенную грань?

    Ответ: P(B) = 
Задание 93. Выбор носков
  1. оказалась хотя бы одна пара носков одного цвета?
    Ответ: нужно взять не менее  носков.
  2. оказалась хотя бы одна пара серых носков?
    Ответ: нужно взять не менее  носков.

Какова вероятность того, что два случайно выбранных носка составят пару?

Ответ: вероятность того, что два случайно выбранных носка составят пару, равна .

Задание 94. Розыгрыш билетов в театр

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения Б

Задание 95. Изучение иностранных языков
  1. как английский, так и немецкий язык?

    Ответ: P(A) = 
  2. английский язык, но не изучает немецкий язык?

    Ответ: P(B) = 
Задание 96. Выбор конфет наугад
  1. Наташе?

    Ответ: P(Наташе) = 
  2. Лене?

    Ответ: P(Лене) = 

Для кого из них распределение 20 конфет будет несправедливым, если остальные 16 конфет они поделят поровну?

Отыет: такое распределение будет несправедливым для .

Задание 97. Выбор бюллетеней

Ответ: P(A) = 

  • Сколько бюллетеней, самое большее, может быть на столе, чтобы вероятность описанного выше события была равной:
    1. 1?
      Ответ: n = 
    2. не менее половины?
      Ответ:  ≤ n ≤ 
  • Какова вероятность этого события, если на столе лежат бюллетени со всеми буквами эстонского алфавита?

    Ответ: P(B) = 
Задание 98. Выбор натуральных чисел

Ответ: P(A) = 

  • Какова была бы эта вероятность в случае, когда три числа выбираются из n первых натуральных чисел?

    Ответ: P(B) = 
  • Найдите такую вероятность в случае, когда из первых n натуральных чисел выбираются
    1. 2 числа,

      Ответ: P(C) = 
    2. 4 числа.

      Ответ: P(D) = 
  • После того, как в полученных результатах подмечены закономерности, запишите формулу для вычисления вероятности для случая, когда из n первых натуральных чисел выбираются наугад m чисел (m ≤ n).
    Ответ: P(M) = 
Seotud sisu
Muud tegevused