Понятие последовательности

В примере 1 у нас получилось множество чисел, снабженных порядковыми номерами (индексами), или числовая последовательность. Элементами этой числовой последовательности являются площади квадратов: первый элемент есть 1² = 1, второй элемент 2² = 4, третий элемент 3² = 9, и, вообще, n-й элемент равен n².

Числовую последовательность обычно называют просто последовательностью[понятие: Последовательность (jada) – см. числовая последовательность]. Числа a₁, a₂, a₃, …, a_n, … называют элементами[понятие: Элементы последовательности – см. члены последовательности.] или членами последовательности[понятие: Члены последовательности (jada liikmed) – числа, из которых составлена последовательность.]. Индекс каждого члена последовательности показывает, под каким номером это число входит в нее. Саму последовательность a₁, a₂, a₃, …, a_n, … кратко обозначают символом (a_n) или {a_n}. Из определения последовательности видно, что множество ее членов бесконечно и что каждый член последовательности имеет определенный порядковый номер.

Произвольный n-й член последовательности, т. е. a_n, называют общим членом последовательности[понятие: Общий член последовательности (jada üldliige) – произвольный 𝑛-й член последовательности, т. е. 𝑎ₙ.]. В дальнейшем мы будем рассматривать в основном такие последовательности, у которых общий член задан некоторой формулой общего члена, показывающей, каким образом выражается произвольный член последовательности через порядковый номер n. В примере 1 общий член последовательности задается формулой a_n = n². Однако это не всегда возможно. Например, не найдено никакой формулы для общего члена последовательности всех простых чисел 2; 3; 5; 7; 11; 13; … .

Если каждый следующий член последовательности больше предыдущего, то последовательность называется возрастающей[понятие: Возрастающая последовательность (kasvav jada) – последовательность (𝑎ₙ), в которой для любых двух последовательных членов выполнено неравенство 𝑎ₖ₊₁ > 𝑎ₖ.]. Последовательности a_n = 2n + 1 и a_n=\frac{2n-1}{n} являются возрастающими. Если же каждый следующий член последовательности меньше предыдущего, то последовательность называется убывающей[понятие: Убывающая последовательность (kahanev jada) – последовательность (𝑎ₙ), в которой для любых двух последовательных членов выполнено неравенство 𝑎ₖ₊₁ < 𝑎ₖ.].

Иногда последовательность задают не с помощью формулы ее общего члена, а путем указания правила, по которому каждый последующий член получается из предыдущих членов[cноска: При этом должны быть указаны некоторые из первых членов.]. В этом случае говорят, что последовательность задана с помощью рекуррентного[cноска: От латинского слова recurrere – бежать обратно.] соотношения. Такова, например, последовательность, в которой a₁ = 1, a_n+1 = 3a_n + 1. Получим: a₂ = 3a₁ + 1 = 3 · 1 + 1 = 4, a₃ = 3a₂ + 1 = 3 · 4 + 1 = 13 и т. д.