Арифметическая прогрессия

Пример.

Докажем, что последовательность 7; 12; 17; 22; …; 5n + 2; … является арифметической прогрессией.

Имеем a_n = 5n + 2; a_n–1 = 5(n – 1) + 2 = 5n – 3 и a_n – a_n–1 = (5n + 2) – (5n – 3) = 5.

Разность этой прогрессии d = 5.

Последовательность 2; 6; 18; 54; … не является арифметической прогрессией, так как 6 – 2 ≠ 18 – 6 ≠ 54 – 18.

Если a₁ = 1 и d = 1, то получим арифметическую прогрессию 1; 2; 3; 4; …; n; … .

Если a₁ = 3 и d = 0, то получим арифметическую прогрессию 3; 3; 3; … . Такие последовательности называются постоянными последовательностями[понятие: Постоянная последовательность (konstantne jada) – последовательность, все члены которой равны между собой.].

Пример 1.

В арифметической прогрессии a₈ = 172 и a₁ = –3. Найдем разность d этой прогрессии.

Так как a₈ = a₁ + 7d, то 7d = a₈ – a₁ = 172 + 3 = 175, откуда d = 175 : 7 = 25.

Пример 2.

Найдем, каким по порядку членом является число 100 в арифметической прогрессии, у которой a₁ = 2 и d = 2.

Из формулы a_n = a₁ + (n – 1)d получим, что

n-1=\frac{a_n-a_1}{d}, n=\frac{a_n-a_1}{d}+1=\frac{100-2}{2}+1=50.

Доказательство.

Пусть даны n последовательных членов арифметической прогрессии (a_n), т. е.

a₁, a₂, a₃, …, a_n–2, a_n–1, a_n.

Сумма первого и последнего членов этой цепочки есть a₁ + a_n. Рассмотрим сумму второго от начала члена, т. е. а₂, и второго от конца члена, т. е. a_n–1. Получим

a₂ + a_n–1 = a₁ + d + a_n – d = a₁ + a_n.

Продолжая далее, мы видим, что k-й от начала член есть a_k. Индекс второго от конца члена равен n – 1, индекс третьего от конца члена равен n – 2 и, наконец, индекс k-го от конца члена равен n – (k – 1) = n – k + 1. По формуле общего члена прогрессии получим:

a_k = a₁ + (k – 1)d,   a_n–k+1 = a₁ + [(n – k + 1) – 1]d = a₁ + (n – k)d

следовательно,

a_k + a_n–k+1 = a₁ + (k – 1)d + a₁ + (n – k)d = a₁ + kd – d + a₁ + nd – kd = a₁ + a₁ + (n – 1)d = a₁ + a_n. ♦

Пример 1.

Найдем сумму 1 + 2 + 3 + … + n. В данном случае слагаемые представляют собой n последовательных членов арифметической прогрессии, у которой a₁ = 1, d = 1, a_n = n. Поэтому

S_n=\frac{1+n}{2}\cdot n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}.

Пример 2.

Найдем сумму всех нечетных натуральных чисел, меньших 100. 

Первое из этих чисел a₁ = 1, а последнее – это a_n = 99. Остается еще узнать число слагаемых, которое мы найдем из формулы общего члена арифметической прогрессии. Так как a_n = a₁ + (n – 1)d, то

n=\frac{a_n-a_1}{d}+1=\frac{98}{2}+1=50 и

S_{50}=\frac{1+99}{2}\cdot50=100\cdot25=2500.