Геометрическая прогрессия

Таким образом, если (a_n) есть геометрическая прогрессия, то отношение \frac{a_n}{a_{n-1}} является постоянной величиной при любом n > 1. Это отношение называется знаменателем прогрессии[понятие: Знаменатель геометрической прогрессии (geomeetrilise jada tegur) – число 𝑞 ≠ 1, равное отношению между последующим и предыдущим членами этой прогрессии.] и обозначается буквой q. Значит, \frac{a_n}{a_{n-1}}=q или a_n = a_n-1q.

Например, если в геометрической прогрессии a₁ = 6 и q = 2, то мы получим последовательность 6; 12; 24; 48; … . Если a₁ = 3 и q = 1, то получим постоянную последовательность 3; 3; 3; … .

Если в геометрической прогрессии (a_n) известны ее первый член a₁ и знаменатель q, то можно найти любой член этой прогрессии:

a₂ = a₁q,   a₃ = a₂q = a₁qq = a₁q²,   a₄ = a₃q = a₁q²q = a₁q³

так что в общем виде: a_n = a₁q^n–1.

В старинной индийской легенде рассказывается о том, что восхищенный шахматной игрой раджа Шеран решил вознаградить мудреца, который изобрел шахматы, и обещал выполнить одно любое его желание. Решив преподнести радже еще один урок, мудрец попросил подарить ему столько пшеничных зерен, сколько их поместится на шахматной доске. При этом на первую клетку нужно положить одно зерно, на вторую – два зерна, на третью – четыре зерна, на четвертую – восемь и т. д., и вообще, на каждую следующую клетку нужно положить в 2 раза больше зерен, чем на предыдущую. Удивленный этой скромной, как ему казалось, просьбой, раджа решил, что ему ничего не стоит ее выполнить. Так ли это?

Количества зерен, которые нужно поместить на клетки шахматной доски, являются членами геометрической прогрессии 1; 2; 4; 8; …; 2^n-1; … Общее число зерен – это сумма 64 первых членов прогрессии, т. е.

1 + 2 + 4 + 8 + … + 2⁶³.

Найдем теперь в общем виде сумму n первых членов геометрической прогрессии (a_n) со знаменателем q. Обозначим эту сумму символом S_n. Тогда

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n или

S_n = a₁ + a₁q + a₁q² + a₁q³ + … + a₁q^n–1.   (1)

Умножим последнее равенство на знаменатель q:

S_nq = a₁q + a₁q² + a₁q³ + a₁q⁴ + … + a₁qⁿ.   (2)

Вычтем из равенства (2) равенство (1):

S_nq – S_n = (a₁q + a₁q² + … + a₁q^n–1 + a₁qⁿ) – (a₁ + a₁q + … + a₁q^n–2 + a₁q^n–1).

После приведения в правой части подобных слагаемых получим

S_nq – S_n = a₁qⁿ – a₁ или S_n(q – 1) = a₁(qⁿ – 1).

Если q ≠ 1, то из последнего равенства выразим сумму n первых членов геометрической прогрессии:

Преобразовав последнюю формулу, получим формулу, в которой S_n выражается через а₁ и а_n:

S_n = \frac{a_1q^n-a_1}{q-1} = \frac{a_1q^{n-1}q-a_1}{q-1} = \frac{a_nq-a_1}{q-1}, т. е.

В последующих разделах нам часто будут встречаться последовательности, члены которых неограниченно приближаются к нулю при неограниченном увеличении их номеров. Такие последовательности имеют специальное наименование.

Кратко такое свойство последовательности записывается так: a_n\to0 при n\to∞ (читают: а_n стремится к нулю при n стремящемся к бесконечности).

Заметим, что бесконечно малые геометрические прогрессии часто называют бесконечно убывающими геометрическими прогрессиями.

Рассмотрим теперь, как определить и вычислить сумму всех членов произвольной бесконечно малой геометрической прогрессии (a_n), т. е. сумму a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n + …. 

Для этого преобразуем выражение суммы n первых членов геометрической прогрессии следующим образом:

S_n=\frac{a_nq-a_1}{q-1}=\frac{a_nq}{q-1}-\frac{a_1}{q-1}.

Так как a_n\to0 при n\to∞, то и слагаемое \frac{a_nq}{q-1}\to0, и потому сумма S_n неограниченно приближается ко второму слагаемому -\frac{a_1}{q-1}=\frac{a_1}{1-q}. Это число и считается суммой членов (или просто суммой) бесконечно малой геометрической прогрессии.

Наши рассуждения показывают, что сумма бесконечно малой геометрической прогрессии выражается в виде