Предел последовательности

Понятие предела последовательности

В предыдущих разделах мы исследовали поведение последовательностей (a_n) при n\to∞, опираясь, в основном, на рисунки и интуитивные соображения. В математике изучение таких так называемых предельных процессов позволило решить многие фундаментальные задачи. Например, многие величины могут быть определены при помощи предельного процесса: находят приближенные значения этой величины, которые отличаются от искомой величины все меньше и меньше. Такой метод используется, к примеру, при вычислении длины кривых линий, при вычислении площади ограниченной некоторой линией фигуры, при вычислении объемов тел, отыскании касательной к кривой и т. д. Применение предельного процесса привело в XVII веке к возникновению нового раздела математики – математического анализа. Математический анализ занимается изучением функций с помощью предельных процессов.Познакомимся теперь с предельным процессом подробнее. Рассмотрим такую последовательность (a_n):\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, …, \frac{99}{100}, \frac{100}{101}, …, \frac{n}{n+1}, … .Отметьте 6 первых членов этой последовательности на числовой прямой.Прослеживая поведение этой последовательности, мы можем заключить, что при увеличении номера n члены последовательности неограниченно приближаются (или стремятся) к числу 1 (что показывает и приведенная таблица). В символическом виде это записывается так: n\to∞ при a_n\to1.

Начиная с 100-го члена (т. е. после номера 99) все члены последовательности отличаются от числа 1 меньше, чем на 0,01; начиная с 1000-го члена (т. е. после номера 999) все члены последовательности отличаются от 1 меньше, чем на 0,001 и т. д. Говорят: предел этой последовательности равен 1.

Рис. 2.9

В общем случае число А является пределом последовательности (а_n), если при неограниченном возрастании номера n члены последовательности начинают сколь угодно мало отличаться от числа А. Другими словами, каким бы малым не было желаемое отличие членов последовательности от числа А, обязательно найдется номер, после которого отличие всех а_n от числа А становится меньшим задуманного положительного числа.

Число A называется пределом последовательности[понятие: Предел последовательности (jada piirväärtus) – число 𝐴 называется пределом последовательности (𝑎ₙ), если для любого положительного числа ε существует такой номер 𝑚, после которого все члены последовательности отличаются от числа 𝐴 меньше, чем на ε.] (a_n), если для любого положительного числа ε[cноска: ε – малая греческая буква эпсилон.] существует такой номер m, после которого все члены последовательности отличаются от числа A меньше, чем на ε, т. е. |a_n – A| < ε, если n ≥ m.

Отличие членов последовательности от числа A характеризуется модулем разности потому, что члены последовательности могут приближаться к A как слева (рис. 2.10, а) или справа (рис. 2.10, б), так и с обеих сторон (рис. 2.10, в).

Рис. 2.10

Тот факт, что последовательность (a_n) имеет предел А, выражается символически

\lim_{n \to \infty} a_{n} = A

(читается: предел (или лимит) a_n при n, стремящемся к бесконечности, равен А). Иногда пользуются и уже знакомой нам записью: a_n → A при n → ∞.

Таким образом, мы можем записать: $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ , $\lim_{n \to \infty} {(\frac{1}{2})}^{n - 1} = 0$ , $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n + 1} = 1$ и т. д.

Пример 1.

Найдем предел последовательности 2; \frac{1}{3}; -\frac{4}{4}; -\frac{11}{5}; …; \frac{5-n^2}{n+1}; …

Члены этой последовательности неограниченно уменьшаются, т. е. становятся меньшими любого наперед заданного отрицательного числа при неограниченном возрастании номера члена (рис. 2.11). Говорят, что предел этой последовательности равен минус бесконечности.

Рис. 2.11

Ответ.

\lim_{n \to \infty} \frac{5 - n^{2}}{n + 1} = - \infty

Пример 2.

Исследуем последовательность 1; 3; 5; …; 2_n – 1; …

Члены данной последовательности неограниченно увеличиваются по мере увеличения номера n. Например, a₁₀₀ = 199, a₁₀₀₀ = 1999 и т. д. Поэтому эта последовательность не имеет конечного предела, т. е. ни для какого числа А не могут быть выполнены условия определения предела последовательности. В случае неограниченно возрастающей последовательности вводят понятие бесконечного предел[понятие: Бесконечный предел (lõpmatu piirväärtus) – понятие, используемое для характеризации неограниченно возрастающих и неограниченно убывающих последовательностей. Предел неограниченно возрастающей последовательности обозначается как +∞ (или ∞), а предел неограниченно убывающей последовательности – как–∞.]а и говорят, что предел последовательности равен плюс бесконечности. В символической записи:

$\lim_{n \to \infty} a_{n} = + \infty$ или a_n\to+∞ при n\to∞.Вместо символа +∞ часто пишут ∞ (без знака).Ответ: $\lim_{n \to \infty} (2 n - 1) = \infty$ , или $\lim_{n \to \infty} (2 n - 1) = + \infty$ .

Пример 3.

Докажем строгими рассуждениями, что $\lim_{n \to \infty} \frac{2 n + 1}{n} = 2$ . Для этого рассмотрим модуль разности a_n и 2:

$|\frac{2 n + 1}{n} - 2| = |\frac{2 n + 1 - 2 n}{n}| = |\frac{1}{n}| = \frac{1}{n}$ .

Нам нужно доказать, что для любого числа ε > 0 существует такой номер m, что \frac{1}{n}<\varepsilon при всех n > m. Неравенство\frac{1}{n}<\varepsilon равносильно неравенству n>\frac{1}{\varepsilon}. Пусть m – наименьшее натуральное число, которое больше \frac{1}{\varepsilon}. Если теперь n > m, то и подавно n >\frac{1}{\varepsilon}, и потому неравенство \frac{1}{n}<\varepsilon выполняется для всех n > m, т. е. для всех членов последовательности после номера m. Тем самым мы доказали, что число 2 является пределом рассматриваемой последовательности.Например, если ε = 0,1, то n > 10; если ε = 0,01, то n > 100 и т. д. Значит, после номера 10 члены последовательности отличаются от числа 2 меньше, чем на 0,1; после номера 100 члены последовательности отличаются от числа 2 меньше, чем на 0,01 и т. д.

Подведем итоги:

бесконечно малая последовательность – это последовательность, предел которой равен нулю. Например, последовательность $a_{n} = \frac{1}{n}$ является бесконечно малой, так как $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ ;

предел неограниченно возрастающей последовательности равен +∞, а предел неограниченно убывающей последовательности равен –∞;

существуют последовательности, не имеющие никакого предела (конечного или бесконечного). Таковы, к примеру, «колеблющиеся» последовательности 1, 0, 4,0, 9, 0, 16, … и –1; 1; –1; 1; …, (–1)ⁿ; …;

если пределом последовательности является некоторое число А, то говорят, что последовательность имеет конечный предел. Такая последовательность также называется сходящейся;

пределом постоянной последовательности с, с, с, … является число с, которому равны все члены последовательности, т. е. $\lim_{n \to \infty} c = c$ . Например, $\lim_{n \to \infty} 1 = 1$ .

Seotud sisu

Упражнения Б

Задание 374. Предел последовательности

a_n=\frac{1-n}{n} $\lim_{n \to \infty} \frac{1 - n}{n}$ =

a_n=\frac{2n+1}{n} $\lim_{n \to \infty} \frac{2 n + 1}{n}$ =

a_n=\frac{3-n}{n+2} $\lim_{n \to \infty} \frac{3 - n}{n + 2}$ =

a_n=\frac{1-2n}{4n} $\lim_{n \to \infty} \frac{1 - 2 n}{4 n}$ =

Задание 375. Упрощение

\left|\frac{1}{n}\right| =

\left|\frac{3}{2n-1}\right| =

\left|\frac{-3}{2n-1}\right| =

\left|\frac{n+1}{3n+8}\right| =

\left|\frac{5-n}{n+1}\right| =

\left|\frac{-n^3}{n^2+3}\right| =

\left|\frac{\left(-1\right)^n}{n+7}\right| =

\left|\frac{1-2n}{-n}\right| =

Задание 376. Решение неравенств

\left|n-1\right|<2

n ∈

\left|3-5n\right|>1

n ∈

\left|\frac{n-1}{n}\right|>1

n ∈

\left|\frac{n+2}{n+3}\right|>1

n ∈

\left|\frac{2}{n+1}\right|<5

n ∈

\left|\frac{2n}{n+1}-2\right|<\frac{1}{100}

n ∈

Задание 377. Члены бесконечно малой последовательности

Бесконечно малая последовательность	Члены меньше\frac{1}{1000} начиная с
a_n=\frac{2}{n}	-го члена
a_n=\frac{2}{n+1}	-го члена
a_n=\frac{3}{n^2}	-го члена
a_n=\frac{1}{n^2+1}	-го члена

Задание 378. Предел последовательности

\lim_{n \to \infty} \frac{2 n}{n + 1} = 2

Ответ: равенство .

$\lim_{n \to \infty} \frac{3 n - 1}{2 n + 5} = \frac{3}{2}$

Ответ: равенство .

$\lim_{n \to \infty} \frac{n + 1}{n + 2} = 1$

Ответ: равенство .

$\lim_{n \to \infty} \frac{2 n + 1}{n} = 2$

Ответ: равенство .

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^{2} + 1}{n^{2}} = 1$

Ответ: равенство .

$\lim_{n \to \infty} \frac{6 n + 4}{2 n + 11} = 3$

Ответ: равенство .

Задание 379. Начиная с какого номера выполнено неравенство?

a_n=\frac{n}{n-1}, A=1

Ответ: неравенство выполнено начиная с номера n = .

a_n=\frac{n+1}{5n}, A=\frac{1}{5}

Ответ: неравенство выполнено начиная с номера n = .

a_n=\frac{3n+2}{6n-1}, A=\frac{1}{2}

Ответ: неравенство выполнено начиная с номера n = .

a_n=\frac{2n-1}{n+1}, A=2

Ответ: неравенство выполнено начиная с номера n = .

Seotud sisu

Вычисление предела последовательности

Чтобы уметь вычислять пределы последовательностей, нужно знать свойства предела. К ним относятся подмеченные нами ранее важные соотношения:

1) $\underset{n \to \infty}{l i m} n = \infty$

2) $\underset{n \to \infty}{l i m} (- n) = - \infty$

3) $\underset{n \to \infty}{l i m} c = c$

4) $\underset{n \to \infty}{l i m} \frac{1}{n} = 0$

Зная эти соотношения, можно вычислить и более сложные пределы с помощью свойств предела, связанных с арифметическими действиями.

Если существуют конечные пределы $\underset{n \to \infty}{l i m} a_{n} = A$ и $\underset{n \to \infty}{l i m} b_{n} = B$ , то

5) $\underset{n \to \infty}{l i m} (a_{n} + b_{n}) = \underset{n \to \infty}{l i m} a_{n} + \underset{n \to \infty}{l i m} b_{n} = A + B$

6) $\underset{n \to \infty}{l i m} (a_{n} - b_{n}) = \underset{n \to \infty}{l i m} a_{n} - \underset{n \to \infty}{l i m} b_{n} = A - B$

7) $\underset{n \to \infty}{l i m} (a_{n} \cdot b_{n}) = \underset{n \to \infty}{l i m} a_{n} \cdot \underset{n \to \infty}{l i m} b_{n} = A \cdot B$

8) $\underset{n \to \infty}{l i m} (a_{n} : b_{n}) = \underset{n \to \infty}{l i m} a_{n} : \underset{n \to \infty}{l i m} b_{n} = A : B$ , где B ≠ 0.

Доказательство свойства 5

Докажем из этих свойств только свойство 5). Сначала напомним, что неравенство |x| < ε равносильно двойному неравенству –ε < x < ε, поскольку |x| есть расстояние от числа x до нуля. Поэтому

$|c - d| < ε \Leftrightarrow - ε < c - d < ε .$ (1)

Согласно определению предела, для любого положительного числа ε для последовательности (a_n) существует такой номер m₁, а для последовательности (b_n) – такой номер[cноска: Эти номера отыскиваются не по числу ε, а по числу ε/2, что вызвано необходимостью получить в конечном результате оценку через ε (см. приведенное доказательство). Мы также пользуемся соотношением (1).] m₂, что

\left|a_n-A\right|<\frac{\varepsilon}{2}, если n > m₁, или -\frac{\varepsilon}{2}<a_n-A<\frac{\varepsilon}{2}\left|b_n-B\right|<\frac{\varepsilon}{2}, если n > m₂, или -\frac{\varepsilon}{2}<b_n-B<\frac{\varepsilon}{2}.Сложив эти два неравенства одного знака, получим:–ε < (a_n + b_n) – (A + B) < ε , или |(a_n + b_n) – (A + B)| < ε.Пусть m – натуральное число, наибольшее из номеров m₁ и m₂. Тогда при n > m одновременно выполнены приведенные выше неравенства и, сложив их почленно, получим, что–ε < (a_n + b_n) – (A + B) < ε или |(a_n + b_n) – (A + B)| < ε,если n > m. Последнее как раз и означает, что число A + B является пределом последовательности (a_n + b_n). ♦

Пример 1.

Пользуясь равенствами 5), 3) и 4), получим, что $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n}) = \lim_{n \to \infty} 1 + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 1 + 0 = 1$ ;
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} = \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n}) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \cdot 0 = 0$ (см. равенства 4) и 7)).

Пример 2.

Найдем предел $\lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^{2} - 5}$ .

Так как знаменатель имеет бесконечный предел, то применить свойство 9), т. е. свойство предела частного, нельзя. Преобразуем выражение, разделив его числитель и знаменатель на n², и получим:

$\lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^{2} - 5}$ = $\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{7}{n^{2}}}{\frac{n^{2} - 5}{n^{2}}}$ = $\frac{\lim_{n \to \infty} \frac{7}{n^{2}}}{\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{5}{n^{2}})}$ = $\frac{\lim_{n \to \infty} 7 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}{\lim_{n \to \infty} 1 - \lim_{n \to \infty} 5 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}$ = $\frac{7 \cdot 0 \cdot 0}{1 - 5 \cdot 0 \cdot 0}$ = 0.

Формулы 1) – 8) не позволяют вычислить предел в случае так называемых неопределенностей: ∞-∞, \frac{∞}{∞} и \frac{0}{0} (здесь ∞ обозначает последовательность, имеющую бесконечный предел, а 0 – бесконечно малую последовательность). При нахождении таких пределов нужно преобразовать формулу общего члена последовательности таким образом, чтобы устранить неопределенность и затем воспользоваться формулами 1) – 8).

Пример 3. Найдем предел

\lim_{n \to \infty} \frac{6 n - 5}{2 n + 2}

В данном случае нельзя сразу воспользоваться формулой 8), поскольку как числитель, так и знаменатель имеют бесконечный предел (неопределенность вида \frac{∞}{∞}). Вынесем за скобки в числителе и знаменателе множитель n и сократим на него дробь. Получим: $\lim_{n \to \infty} \frac{6 n - 5}{2 n + 2}$ = $\lim_{n \to \infty} \frac{n (6 - \frac{5}{n})}{n (2 + \frac{3}{n})}$ = $\lim_{n \to \infty} \frac{6 - \frac{5}{n}}{2 + \frac{3}{n}}$ = $\frac{\lim_{n \to \infty} (6 - \frac{5}{n})}{\lim_{n \to \infty} (2 + \frac{3}{n})}$ = $\frac{\lim_{n \to \infty} 6 - \lim_{n \to \infty} \frac{5}{n}}{\lim_{n \to \infty} 2 + \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n}}$ = $\frac{6 - 0}{2 + 0}$ = 3.

Пример 4.

Найдем предел $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})$ .

В данном случае мы имеем неопределенность вида ∞-∞. Преобразуем выражение следующим образом: $\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$ = $\frac{(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}) (\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$ = $\frac{{(\sqrt{n + 1})}^{2} - {(\sqrt{n})}^{2}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$ = $\frac{n + 1 - n}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$ = $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$ ;

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = 0$ .

Таким образом, искомый предел равен 0.

Seotud sisu

Упражнения Б

Задание 380. Предел последовательности

Обоснуйте, что $\lim_{n \to \infty} (c \cdot a_{n}) = c \cdot \lim_{n \to \infty} a_{n}$ .

Задание 381 Вычисление пределов

$\lim_{n \to \infty} 7 n$ =

\lim_{n \to \infty} \frac{7}{n}

\lim_{n \to \infty} (- 4 n^{2})

\lim_{n \to \infty} \frac{n}{7}

\lim_{n \to \infty} (3 + \frac{6}{n})

\lim_{n \to \infty} 3^{n}

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2 n^{2}}

\lim_{n \to \infty} {(- \frac{4}{5})}^{n}

Задание 382. Вычисление пределов

\lim_{n \to \infty} (2 + \frac{3}{n^{3}})

\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{5}{n})

\lim_{n \to \infty} \frac{15}{n^{3} + 1}

\lim_{n \to \infty} (7 n^{2} + n)

\lim_{n \to \infty} \frac{3}{3 n + 1}

\lim_{n \to \infty} \frac{n^{2} + 5 n}{2 n}

\lim_{n \to \infty} [- 4 (n + n^{3})]

\lim_{n \to \infty} \frac{2^{n}}{3^{n}}

\lim_{n \to \infty} \frac{{(n + 1)}^{2}}{2}

Задание 383. Вычисление пределов

Последовательность	Предел последовательности
a_n=\frac{n+1}{n-1}
a_n=\frac{n+2}{n^2-4}
a_n=\frac{3n+1}{n-6}

Последовательность	Предел последовательности
a_n=\frac{n-3}{4-n}
a_n=\frac{3n}{12n+11}
a_n=\frac{7n+8}{2n}

Последовательность	Предел последовательности
a_n=\frac{n^2+1}{2n^2-1}
a_n=\frac{5n^2-3n}{3n-5n^2}
a_n=\frac{n^3+n^2+1}{n^3+1}

Последовательность	Предел последовательности
a_n=\frac{n^3}{n^3+n+2}
a_n=\frac{n^3-5n+6}{2n^2+n-3}
a_n=\frac{n^2-5}{n^3-2n^2+n-2}

Задание 384. Доказательство

Опираясь на свойства предела последовательности, докажите формулу суммы бесконечно малой геометрической прогрессии:

S = \lim_{n \to \infty} S_{n} = \frac{a_{1}}{1 - q}

Задание 385. Вычисление пределов

$\lim_{n \to \infty} \frac{2 \sqrt{n}}{2 + \sqrt{n}}$ =

\lim_{n \to \infty} (2 n - \sqrt{4 n^{2} + n})

\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[3]{n} - 1}{n - 1}

\lim_{n \to \infty} (n - \sqrt{n^{2} + 1})

\lim_{n \to \infty} (\sqrt{4 n^{2} + 1} - 2 n)

\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^{2} + 6 n} - n)

Задание 386. Вычисление предела

\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{n (n + 1)})

\lim_{n \to \infty} \frac{{(n + 1)}^{3} - {(n - 1)}^{3}}{{(n + 1)}^{2} + {(n - 1)}^{2}}

Seotud sisu

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Предел последовательности

Seotud sisu

Понятие предела последовательности

Seotud sisu

Упражнения Б

Задание 374. Предел последовательности

Задание 375. Упрощение

Задание 376. Решение неравенств

Задание 377. Члены бесконечно малой последовательности

Задание 378. Предел последовательности

Задание 379. Начиная с какого номера выполнено неравенство?

Seotud sisu

Вычисление предела последовательности

Доказательство свойства 5

Seotud sisu

Упражнения Б

Задание 380. Предел последовательности

Задание 381 Вычисление пределов

Задание 382. Вычисление пределов

Задание 383. Вычисление пределов

Задание 384. Доказательство

Задание 385. Вычисление пределов

Задание 386. Вычисление предела

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid