Длина окружности и площадь круга как пределы

В этом разделе мы рассмотрим применение предельного процесса к вычислению длины кривой линии и площади ограниченной линией фигуры. В качестве такой линии мы возьмем окружность.

Из курса математики основной школы мы знаем, что длина С окружности и площадь S ограниченного ею круга вычисляются по формулам:

C = 2πr и S = πr².

Дадим обоснование этим формулам.

Длину окружности нельзя измерить непосредственно с помощью какой-либо единицы длины, так как такими единицами являются длины отрезков (1 см, 1 м и т. д.), а окружность есть кривая линия. В то же время, нам кажется интуитивно ясным, что окружность должна иметь длину. Например, представим себе нить или проволоку в форме окружности. Разрежем ее и растянем за концы. Тогда длина полученного отрезка и есть длина окружности.

\frac{a_n}{2}:\ r=\sin\frac{360\degree}{2n} или \frac{a_n}{2r}=\sin\frac{360\degree}{2n}, откуда a_n=2r\cdot\sin\frac{360\degree}{2n}=2r\cdot\sin\frac{180\degree}{n}.

Так как таких треугольников всего n штук, то периметр вписанного n-угольника равен

n\cdot a_n=2rn\cdot\sin\frac{180\degree}{n}.

По определению длина С окружности есть предел:

$$ C=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(n·a_n\right)$$ = $$ \underset{n\to \infty }{\lim }\left(2rn·\sin \frac{180°}{n}\right)$$ = $$ 2r\underset{n\to \infty }{\lim }\left(n·\sin \frac{180°}{n}\right)$$.

Так как мы предположили, что этот предел конечен, то и предел $$ \underset{n\to \infty }{\lim }\left(n·\sin \frac{180°}{n}\right)$$ должен быть конечным. Более того, так как выражение под знаком предела не содержит r, то этот предел не зависит от радиуса рассматриваемой окружности.

Учитывая, что $$ \underset{n\to \infty }{\lim }\left(n·\sin \frac{180°}{n}\right)=\mathrm{\pi }$$ (это равенство мы докажем в примере 5 раздела 4.4), мы получим формулу длины окружности:

Площадь круга также невозможно измерить непосредственно с помощью известных нам единиц площади (1 см², 1 м² и т. д.). Поэтому будем действовать аналогично предыдущему рассуждению.

Для вывода формулы площади круга с радиусом r воспользуемся снова рисунком 2.13. Площадь S_∆ треугольника AOB равна: S_k=\frac{a_nh_n}{2}, где h_n – высота ОС треугольника AOB. Площадь S_n всего вписанного n-угольника равна: S_n=n\cdot\frac{a_n\cdot h_n}{2}=\frac{na_nh_n}{2}.

Поэтому площадь S круга выражается следующим пределом:

$$ S=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$$ = $$ \underset{n\to \infty }{\lim }\left(a_n·n·\frac{h_n}{2}\right)$$ = $$ \underset{n\to \infty }{\lim }(n·a_n)·\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{h_n}{2}$$.

Так как $$ \underset{n\to \infty }{\lim }(n·a_n)=2\pi r$$ и $$ \underset{n\to \infty }{\lim }{h}_n=r$$, то $$ S=2\mathrm{\pi }r·\frac{r}{2}=\mathrm{\pi }{r}^2$$ или