Степень с действительным показателем

Напомним, что для любого действительного числа a ∈ R:

a⁰ = 1, если a ≠ 0

a¹ = a

aⁿ = a · a · a · ... · a, n множителей, если n ∈ {2; 3; 4; …}

$a^{- k} = \frac{1}{a^{k}}$ , если a ≠ 0 и k ∈ Z или a > 0 и k ∈ Q

$a^{\frac{m}{n}} = {\begin{cases} \sqrt[n]{a^{m}}, если a > 0, m \in Z и n \in Z^{+} \\ 0, если a = 0, m \in Z^{+} и n \in Z^{+} \end{cases}$

Пример 1.

2,603⁰ = 1
8675¹ = 8675
3⁶ = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 729
(–0,7)³ = (–0,7) · (–0,7) · (–0,7) = –0,343
4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} = 0,0625

10,1^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{10,1^3} = \sqrt[4]{1030,301} ≈ 5,66553635
\left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{2}{3}} = 27^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{27^2} = 9
0^7,5 = 0

Так как целые показатели можно представить в виде

0 = \frac{0}{1}, 1 = \frac{1}{1}, n = \frac{n}{1}

- k = \frac{- k}{1},

то во всех рассмотренных выше случаях показателем являлось рациональное число, т. е. число, которое можно записать в виде \frac{m}{n}, где m ∈ Z и n ∈ Z⁺.Для степеней с основаниями а > 0, b > 0 и (u ∈ Q, v ∈ Q) выполнены следующие свойства:

a^{u} \cdot a^{v} = a^{u + v}

$a^{u} : a^{v} = a^{u - v}$

${(a^{u})}^{v} = a^{u v}$

${(a b)}^{u} = a^{u} b^{u}$

${(\frac{a}{b})}^{u} = \frac{a^{u}}{b^{u}}$

(1)

Выясним теперь, что понимается под степенью a^r, если показатель степени r является иррациональным числом[понятие: Степень с иррациональным показателем (irratsionaalarvulise astendajaga aste) – степень 𝑎ʳ, где показатель степени 𝑟 является иррациональным числом.] и a > 0, a ∈ R.

Начнем с конкретного примера: чему равна степень 5^{\sqrt{2}}?Десятичные приближения иррационального числа \sqrt{2} , взятые с недостатком, образуют последовательность1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; 1,414213; 1,4142135; …Если общий член этой последовательности обозначить символом r_n, то $\lim_{n \to \infty} r_{n} = \sqrt{2}$ . Соответствующие степени числа 5 также образуют последовательность

5¹; 5^1,4; 5^1,41; 5^1,414; 5^1,4142; 5^1,41421; 5^1,414213; 5^1,4142135; …,

с общим членом a_n=5^{r_n}. Так как все члены этой последовательности являются степенями с рациональным показателем, то их значения определены и могут быть вычислены. Результаты вычислений приведены в третьем столбце таблицы:

на основании чего можно предположить, что с увеличением номера все больше десятичных знаков членов этой последовательности становятся неизменными. Можно высказать гипотезу, что последовательность 5¹; 5^1,4; 5^1,41; 5^1,414; …; 5^{r_n}; … имеет конечный предел. Этот предел и считается значением 5^{\sqrt{2}}, т. е.

5^{\sqrt{2}} = \lim_{n \to \infty} 5^{r_{n}}

При этом несущественно, какое именно значение имеет указанный предел. Важно лишь то, что этот предел существует и запись 5^{\sqrt{2}} имеет описанный выше смысл. В этом случае мы можем найти значение 5^{\sqrt{2}} с любой заданной точностью. Например, на основании третьего столбца приведенной таблицы можно предположить, что с точностью до 0,05 получается значение 5^{\sqrt{2}}=9,7, с точностью до 0,005 – значение 5^{\sqrt{2}}=9,74, с точностью до 0,0005 – значение 5^{\sqrt{2}}=9,739.Аналогичным образом определяется значение любой степени a^r, где a – положительное действительное число и r – положительное иррациональное число.При этом значение числа a^r можно вычислить с любой точностью. Если показателем степени является отрицательное иррациональное число –r (r > 0), то степень a^–r определяется равенством

a^{- r} = \frac{1}{a^{r}}

Пример 2.

5^{-\sqrt{2}}=\frac{1}{5^{\sqrt{2}}}\approx\frac{1}{9,739} ≈ 0,1027

Таким образом, в случае, когда a > 0, степень a^r определена как для рационального, так и для иррационального показателя степени, т. е. для любого действительного показателя r. Заметим, что при этом остаются справедливыми отмеченные выше свойства степени – соотношения (1).

Пример 3.

4^{\sqrt{3}}\cdot4^{2\sqrt{3}} = 4^{\sqrt{3}+2\sqrt{3}} = 4^{3\sqrt{3}} = \left(4^3\right)^{\sqrt{3}} = 64^{\sqrt{3}}
3^{7+\sqrt{5}}:\ 3^{5+\sqrt{5}} = 3^{7+\sqrt{5}-\left(5+\sqrt{5}\right)} = 3^2 = 9
\left(2^{\sqrt{3}}\right)^{\sqrt{6}} = 2^{\sqrt{3}\cdot\sqrt{6}} = 2^{\sqrt{18}} = 2^{3\sqrt{2}} = \left(2^3\right)^{\sqrt{2}} = 8^{\sqrt{2}}
2^{\sqrt{7}}\cdot5^{\sqrt{7}} = \left(2\cdot5\right)^{\sqrt{7}} = 10^{\sqrt{7}}
12^{\sqrt{2}}:\ 4^{\sqrt{2}} = \left(\frac{12}{4}\right)^{\sqrt{2}} = 3^{\sqrt{2}}

Справедливы также утверждения, вытекающие из равенства степеней с равными основаниями (a > 0, u, v ∈ R):

Пример 4. Решим уравнение 7^x = 343.Уравнение можно записать в виде 7^x = 7³, откуда получим x = 3.

Рассмотренное в примере 4 уравнение принадлежит к виду так называемых показательных уравнений[понятие: Показательное уравнение (eksponentvõrrand) – уравнение, которое содержит неизвестное только в показателе степени], так как оно содержит неизвестное только в показателе степени. С такими уравнениями мы подробнее познакомимся позднее.Более сложные уравнения решаются по следующей схеме (a > 0, b > 0, u ∈ R):

Пример 5. Решим уравнение (x – 6)⁴ = 16. Это уравнение можно решить разными способами.

Уравнению можно придать вид (x – 6)⁴ = 2⁴. Так как показатель степени есть четное число, то x – 6 = 2, откуда x₁ = 8, или x – 6 = –2, откуда x₂ = 4. Проверка показывает, что оба значения х являются корнями уравнения.
Данное уравнение можно решить и по-другому. Уравнение z⁴ = 2⁴ имеет, очевидно, два корня: z = ±2. Поэтому х – 6 = ±2, откуда x₁ = 8, x₂ = 4.
Рассмотрим еще один способ решения. Запишем уравнение в виде (x – 6)⁴ – 4² = 0 и представим его левую часть в виде произведения: [(x – 6)² – 4] · [(x – 6)² + 4] = 0.Тогда (x – 6)² – 4 = 0, или (x – 6)² + 4 = 0. Первое уравнение имеет уже известные нам корни 8 и 4, второе уравнение не имеет корней.
Наконец, можно раскрыть скобки в исходном уравнении. Однако при этом получается уравнение четвертой степени, решить которое значительно труднее.

Пример 6. Решим уравнение (x – 6)^x = 2^x. Из равенства степеней получим, что x – 6 = 2, откуда x₁ = 8. Если x – четное число, то может быть также x – 6 = –2, откуда x₂ = 4. Наконец, x = 0 также удовлетворяет уравнению, т. е. x₃ = 0. Все найденные значения x являются корнями уравнения.Ответ: x₁ = 8, x₂ = 4, x₃ = 0.

В данном примере мы встретились с уравнением нового типа – показательно-степенным уравнением, содержащим неизвестное как в основании, так и в показателе степени.Полезно запомнить важнейшие свойства степени, которые мы сформулируем в виде теоремы.

ТЕОРЕМА. Для степени а^r с действительным показателем:1) если 0 < a < 1, то $a^{r_{1}} > a^{r_{2}} \Leftrightarrow r_{1} < r_{2}$ ;

2) если a > 1, то $a^{r_{1}} < a^{r_{2}} \Leftrightarrow r_{1} < r_{2}$ .

Пример 7.

0,8^{\sqrt{2}}>0,8^{\sqrt{3}}, так как \sqrt{2}<\sqrt{3} и a=0,8<1.
2,6^5<2,6^{\sqrt{26}}, так как 5<\sqrt{26} и a=2,6>1.

Пример 8. Решим неравенства: 1) 0,6^x > 0,6⁵; 2) 1,3^x+1 < 1,3².

Так как основание степени a = 0,6 < 1, то большему показателю степени соответствует меньшее значение степени. Значит, x < 5.
Так как a = 1,3 > 1, то большему показателю степени соответствует и большее значение степени: x + 1 < 2 ⇒ x < 1.

Чтобы вычислить значение степени a^r, где a > 0 и r ∈ R, в большинстве случаев приходится пользоваться калькулятором. Для этого на калькуляторе есть клавиша x^y или y^x (иногда клавиша a^x или клавиша ∧). Вычисление степени a^r выполняется по одной из следующих схем:a x^y r = или r x^y a = или a ∧ r =.

Пример 9. 2,5^1,8 ≈ 5,2035; схема вычисления: 2,5 x^y 1,8 = или 2,5 ∧ 1,8 =; 0,3^–7 ≈ 4572,4737; схема вычисления: 0,3 x^y 7 +/– = или 0,3 ∧ 7 +/– =.

Значения выражений a^{\sqrt{b}} и a^{\frac{1}{c}} можно вычислить соответственно по следующим схемам:a x^y b √ = и a x^y c 1/x =или a ∧ b √ = и a ∧ ( 1 ÷ c ) =.На некоторых калькуляторах приходится предварительно находить \sqrt{b} или соответственно \frac{1}{c} и записывать его в память, откуда это значение в нужный момент вызывается на экран.Если калькулятор имеет клавишу x^1/y или ^y√x или ^x√y, то значение a^{\frac{1}{c}}, или \sqrt[c]{a}, можно вычислить проще:a x^1/y c = или a ^y√x c = или c ^y√x a =.

Пример 10. 3^{\sqrt{2}}\approx4,7288; схема вычисления: 3 x^y 2 √ =,\sqrt[5]{4}=4^{\frac{1}{5}}\approx1,3195; схема вычисления: 4 x^y 5 1/x = или 4 x^1/y 5 =.

Для вычисления значения выражения a^{\frac{m}{n}}, или \sqrt[n]{a^m}, подходят следующие схемы:

a x^y ( m ÷ n ) =,a x^y m a b/c n =,

a x^y m = x^y n 1/x =,m ÷ n M a x^y MR =.

Если калькулятор имеет клавишу ∧, то можно вычислить по схеме:a ∧ ( m ÷ n ) =.

Пример 11. 1,7^{\frac{2}{3}}\approx1,4244, что можно вычислить несколькими способами:

1,7 x^y ( 2 ÷ 3 ) =1,7 x^y 2 a b/c 3 =1,7 x² x^y 3 1/x =

1,7 ∧ ( 2 ÷ 3 ) =1,7 x^y 2 = x^y 3 1/x =2 ÷ 3 M 1,7 x^y MR =

Для вычисления степени 10^r на калькуляторе имеется клавиша 10^x и вычисления выполняются по схеме: r 10^x. Например, при вычислении 3,04 10^x получим 10^3,04 ≈ 1096,4782.

Seotud sisu

Упражнения A

Задание 543. Степень с действительным показателем

Выражение	c^5	c^8	c^{11}	c^1
Допустимые значения числа c

Выражение	\left(c+3\right)^1	\left(c-5\right)^1	c^{10}	\left(c-8\right)^0
Допустимые значения числа c

Выражение	\left(-c\right)^0	c^{-4}	c^{-3}	c^{-1}
Допустимые значения числа c

Выражение	c^{\frac{3}{4}}	c^{\frac{1}{8}}	c^{\frac{1}{3}}	c^{-\frac{3}{8}}
Допустимые значения числа c

Задание 544. Возведение в степень

4^3 =

\left(-4\right)^3 =

-4^3 =

5^0 =

-5^0 =

\left(-5\right)^0 =

0^6 =

0^1 =

0^0 =

3,2^1 =

1^{18} =

-7^1 =

\left(-1\right)^9 =

\left(-1\right)^7 =

\left(-1\right)^{2n+1} =

\left(-1\right)^{2n-1} =

\left(-1\right)^4 =

-1^4 =

\left(-1\right)^{28} =

\left(-1\right)^{2n} =

Задание 545. Возведение в степень

2^{-3} =

5^{-1} =

6^{-2} =

2,5^{-1} =

0,25^{-2} =

0^{-3} =

1^{-7} =

\left(-2\right)^{-3} =

\left(-10\right)^{-2} =

-4^{-2} =

\left(-1\right)^{-6} =

\left(-5\right)^{-3} =

\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} =

\left(\frac{1}{3}\right)^{-4} =

\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} =

\frac{1}{3^{-2}} =

\frac{2}{5^{-3}} =

\frac{9}{2^{-4}} =

\frac{2}{2^{-3}} =

\frac{5}{1^{-4}} =

Задание 546. Возведение в степень

4^{\frac{1}{2}} =

0,25^{\frac{3}{2}} =

125^{-\frac{2}{3}} =

0,0625^{0,75} =

16^{0,125} =

9^{-0,5} =

-16^{\frac{1}{4}} =

\left(-16\right)^{\frac{1}{4}} =

0^{\frac{2}{7}} =

1^{\frac{4}{9}} =

-8^{\frac{1}{3}} =

0^{-2,4} =

Задание 547. Действия со степенями

2^{1,5}\cdot2^{2,5} =

4^{2,8}\cdot4^{0,2} =

3^{5,4}\cdot3^{-2,4} =

1,8^7:\ 1,8^5 =

\left(-0,4\right)^9\ :\ \left(-0,4\right) =

3^{-6\ }:\ 3^{-4} =

\left(4^{\frac{5}{12}}\right)^6 =

\left(2^{-\frac{4}{7}}\right)^{14} =

\left(3^{0,25}\right)^8 =

\left(7\cdot3\right)^2 =

\left(25\cdot49\right)^{\frac{1}{2}} =

\left(8\cdot27\right)^{\frac{2}{3}} =

\left(\frac{8}{125}\right)^{\frac{1}{3}} =

\left(\frac{1}{2}\right)^{-4} =

\left(\frac{1}{64}\right)^{\frac{2}{3}} =

Задание 548. Упрощение

a^7\cdot a^3 =

b^{-2}\cdot b^6 =

c^{-0,4}\cdot c^{-2,8} =

k^n\cdot k^{8-n} =

r^0\cdot r^{-1} =

m^{4n}\cdot m^n =

a^4:\ a^3 =

a^{-3,2}:\ a^{-1,2} =

a^{-1}:\ a^0 =

\left(p^{-5}\right)^4 =

\left(q^0\right)^{-5} =

\left(r^{-0,5}\right)^7 =

2n\cdot4n^{-3} =

12a^5:\ 10a^{-5} =

\left(8r^{-3}\right)^{\frac{4}{3}} =

Задание 549. Действия со степенями и корнями

\sqrt[3]{4}:\sqrt[6]{2} =

9^{-\frac{5}{2}}\cdot\sqrt[3]{27} =

\left(\sqrt[8]{64}\right)^{\frac{4}{15}} =

\sqrt[3]{a^2}:\sqrt[6]{a^3} =

a^{-5}\cdot\sqrt[3]{a^{0,3}} =

\left(\sqrt[7]{a}\right)^0 =

\sqrt{5}:\sqrt[4]{25} =

\sqrt[3]{8^{-3}}\cdot2^3 =

Задание 550. Упрощение

\sqrt[5]{a^2}:\sqrt[15]{a^4}\cdot a^{\frac{3}{15}} =

\left(a^{\frac{1}{6}}-b^3\right)\left(a^{\frac{1}{6}}+b^3\right) =

\left(\sqrt[4]{9}+8^{\frac{1}{3}}\right)\left(\sqrt[4]{9}-8^{\frac{1}{3}}\right) =

\left(a^{\frac{8}{7}}+a^{-\frac{4}{7}}\right)a^{\frac{7}{2}} =

\left(x^{\frac{1}{3}}-c^{-1}\right)\left(x^{\frac{1}{3}}+c^{-1}\right) =

\left(a^{0,5}-2\sqrt{a}\right)^2 =

Задание 551. Упрощение

\left(5^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}} =

4^{\sqrt{3}}:\ 4^{\sqrt{3}-2} =

2^{\sqrt{3}}\cdot2^{\sqrt{2}} =

\left(2^{\sqrt{6}}\right)^{\sqrt{3}} =

5^{\sqrt{12}}\cdot5^{\sqrt{3}}\cdot5^{\sqrt{27}} =

3^{\sqrt{5}}\cdot3^{-3\sqrt{5}} =

2^{\sqrt{3}}\cdot5^{\sqrt{3}} =

2^{3\cdot2^{0,5}}:2^{2^{0,5}} =

10^{\sqrt{7}}:\ 2^{\sqrt{7}} =

7^{\sqrt{5}}\cdot7^{-\sqrt{5}} =

2^{\sqrt{2}}:\ 16^{-\sqrt{2}} =

10^{2\sqrt{2}}:\ 25^{2\sqrt{2}} =

Задание 552. Решение показательных уравнений

2^x=16

x =

3^x=27^{-1}

x =

5^{-x}=25

x =

\sqrt[4]{4}=8^x

x =

9\cdot3^x=27^{-x}

x =

0,125^x=2^{4x}

x =

5^x=25^{\sqrt{2}}

x =

4^{\sqrt{2}}=2^{x+\sqrt{2}}

x =

6^{x+\sqrt{2}}=1

x =

5^{x+1}=0

x =

3^{x^2-4}=1

x = или x =

7^{x-8}=-1

x =

Задание 553. Степень с действительным показателем

${(- 3)}^{1}$
${(- 2)}^{- 10}$
$6^{0,6}$
$- 3^{2}$
$0^{4}$
$1^{- 5}$
${0,8}^{- 4}$
${(- 7)}^{0}$

${(- 7)}^{0}$
$1^{- 5}$
${(- 3)}^{1}$
$6^{0,6}$
$0^{4}$
${(- 2)}^{- 10}$
$- 3^{2}$
${0,8}^{- 4}$

Задание 554. Степень с действительным показателем

2^4 =

5^{2,4} =

1,038^{10} =

2753^{0,35} =

2^{-3} =

4^{-6,2} =

2,13^{-6} =

9009^{-0,7} =

2^{\sqrt{16}} =

5^{\sqrt{9,3}} =

1,1^{\sqrt{476}} =

6,6^{\sqrt{63,9992}} =

9^{\frac{1}{2}} =

77^{\frac{1}{9}} =

25^{\frac{1}{10}} =

32\ 086^{\frac{1}{4}} =

Задание 555. Степень с действительным показателем

\pi^4 =

2^{\pi} =

\pi^{\pi} =

5^{-\pi} =

-3,3^5 =

\left(-3,3\right)^5 =

\left(-0,72\right)^8 =

-1,3^{2,9} =

Задание 556. Степень с действительным показателем

10^7 =

10^{1,09} =

10^{-5,3} =

10^{18,04} =

10^{\pi} =

10^{\sqrt{5}} =

\sqrt[7]{10} =

\sqrt[13]{10^4} =

Seotud sisu

Упражнения Б

Задание 557. Упрощение

\sqrt[3]{a^2}:\sqrt[6]{a} =

a^{-5}\cdot\sqrt[3]{a^{0,3}} =

\left(\sqrt[8]{a^3}\right)^{\frac{4}{21}} =

Задание 558. Действия со степенями и корнями

\left(4^{\frac{3}{4}}-2^{-0,5}\right)^2 =

3^{-0,25}\cdot81^{0,125}\cdot9^{\frac{3}{2}} =

\sqrt[3]{4}:\ 0,5^{-3}\ :\ 2^{-3} =

\left[3\cdot2^{-2}-\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\right]^{-1} =

\left[4^{-\frac{1}{4}}+\left(2^{1,5}\right)^{-\frac{4}{3}}\right]\cdot4^{-0,25} =

\left(23^0\right)^2-7,5\left(\sqrt[4]{4^{-3}}\right)^2 =

Задание 559. Сравнение

20³ 30³

(–2)⁷ (–3)⁷

(–0,1)⁵ (–0,3)⁵

0,5⁴ 0,8⁴

(–2)¹⁰ (–3)¹⁰

(–0,2)⁴ (–0,3)⁴

(–8)⁶ 8⁶

–5⁴ (–5)⁴

2^0,5 3^0,5

Задание 560. Сравнение

3^{\sqrt{2}} 3^{\sqrt{3}}

10^{0,5} \sqrt{10}

0,3^{1,5} 0,3^{\sqrt{2}}

7^{4\sqrt{3}} 7^{\sqrt{5}}

16^{-0,5} 2^{-\sqrt{2}}

0,16^{-\sqrt{2}} 0,4^{-\sqrt{3}}

Если a>1, то a^{\sqrt{2}} a^{\sqrt{3}},

если a=1, то a^{\sqrt{2}} a^{\sqrt{3}},

если 0<a<1, то a^{\sqrt{2}} a^{\sqrt{3}}.

Если a>1, то a^{-\sqrt{5}} a^{-\sqrt{7}},

если a=1, то a^{-\sqrt{5}} a^{-\sqrt{7}},

если 0<a<1, то a^{-\sqrt{5}} a^{-\sqrt{7}}.

Задание 561. Решение показательных неравенств

4^x<4^3
x

2^{2x}\le4
x

125^x>5^{4,5}
x

\left(\frac{1}{2}\right)^x>\left(\frac{1}{2}\right)^5
x

0,3^{x+1}>0,3
x

0,1^{2x}\le0,01
x

3^{0,1}\ge3^{4x+1}
x

8^{0,5}<2^{x+1}
x

\left(\frac{2}{3}\right)^x>5\cdot3^{-2}
x

3^x<3^{\sqrt{2}}
x

1^x\le1^{\sqrt{5}}
x

\left(\frac{5}{3}\right)^x>\left(\frac{5}{3}\right)^{2+\sqrt{2}}
x

-4^x<16
x

5^x<-125
x

2^x>5^0
x

Задание 562. Сравнение

2^2 2^5

2^{-2} 2^{-3}

2^{-10} 2^4

2^0 2^{-1}

3^{\frac{1}{3}} 3^{\frac{1}{2}}

3^{\frac{1}{3}} 3^{-\frac{1}{2}}

3^{-\frac{1}{3}} 3^{-\frac{1}{2}}

64^{\frac{2}{3}} 64^{\frac{7}{2}}

0,5^2 0,5^5

0,5^{-2} 0,5^{-3}

0,5^{-10} 0,5^4

0,5^n 0,5^m; n>m; n, m ∈ N

10^n или 10^m; n, m ∈ Z

Если n<m, то 10^n 10^m и
если n>m, то 10^n 10^m.

a^n или a^m; a > 1; n, m ∈ Z

Если n<m, то a^n a^m и
если n>m, то a^n a^m.

Задание 563. Степень с действительным показателем

0,5^5

2^{0,05}

a^6

a^5

0,5^5

2^{0,05}

a^6

a^5

Задание 564. Степень с действительным показателем

\sqrt[4]{81} =

\sqrt[12]{6} =

\sqrt[3]{0,02} =

\sqrt[25]{10,08} =

8^{\frac{2}{3}} =

80^{\frac{7}{5}} =

0,9^{-\frac{4}{7}} =

7070^{-\frac{8}{9}} =

\sqrt[3]{8^4} =

\sqrt[6]{2,1^3} =

\sqrt[5]{99^{-2}} =

\sqrt[4]{0,052^6} =

Задание 565. Решение показательных уравнений

\left(x+5\right)^{12}=5^{12}
x = или x =

x^{10}=1024
x = или x =

\left(2x-1\right)^9=3^9
x =

x^{11}=2^{11}
x =

\left(x+2\right)^x=5^x
x = или x =

\left(x+7\right)^x=5^x
x = , x = или x =

\left(x^2+2\right)^x=3^x
x₁ = , x₂ = , x₃ =

x^{x+5}=1
x₁ = , x₂ = , x₃ =

x^{\sqrt{x}}=\left(\sqrt{x}\right)^x
x₁ = , x₂ =

x^x=x
x₁ = , x₂ =

x^{1-x}=x^{-1}
x₁ = , x₂ =

x^{x-3}=x^2
x₁ = , x₂ = , x₃ =

Seotud sisu

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Степень с действительным показателем

Seotud sisu

Упражнения A

Задание 543. Степень с действительным показателем

Задание 544. Возведение в степень

Задание 545. Возведение в степень

Задание 546. Возведение в степень

Задание 547. Действия со степенями

Задание 548. Упрощение

Задание 549. Действия со степенями и корнями

Задание 550. Упрощение

Задание 551. Упрощение

Задание 552. Решение показательных уравнений

Задание 553. Степень с действительным показателем

Задание 554. Степень с действительным показателем

Задание 555. Степень с действительным показателем

Задание 556. Степень с действительным показателем

Seotud sisu

Упражнения Б

Задание 557. Упрощение

Задание 558. Действия со степенями и корнями

Задание 559. Сравнение

Задание 560. Сравнение

Задание 561. Решение показательных неравенств

Задание 562. Сравнение

Задание 563. Степень с действительным показателем

Задание 564. Степень с действительным показателем

Задание 565. Решение показательных уравнений

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid