Закон показательного роста и убывания

Некоторые величины с течением времени изменяются таким образом, что за определенный промежуток времени их значение увеличивается на p процентов по сравнению с первоначальным значением а. Найдем, каково будет значение такой величины по истечении n таких промежутков времени (например, лет):

в конце первого промежутка времени будет a+\frac{p}{100}\cdot a = a\left(1+\frac{p}{100}\right),

в конце второго промежутка времени будет a\left(1+\frac{p}{100}\right)+\frac{p}{100}\cdot a\left(1+\frac{p}{100}\right) = a\left(1+\frac{p}{100}\right)^2,

в конце третьего промежутка времени будет a\left(1+\frac{p}{100}\right)^2+\frac{p}{100}\cdot a\left(1+\frac{p}{100}\right)^2 = a\left(1+\frac{p}{100}\right)^3.

По аналогии получим, что в конце n-го промежутка времени значением величины будет

A_n=a\left(1+\frac{p}{100}\right)^n.   (1)

Если n = 0, то получим величину а, соответствующую началу первого периода. Формула (1) является формулой сложных процентов[понятие: Формула сложных процентов для случая возрастающей величины (liitprotsendilise kasvamise valem) – закономерность, в случае которой исходная величина 𝑎 увеличивается за каждый промежуток времени на 𝑝 процентов по сравнению со значением в начале промежутка времени. Если прошло 𝑛 таких промежутков времени, то новым значением будет 𝑎(1 + 𝑝/100)ⁿ.] для случая возрастающей величины. По такому закону возрастает размер вклада в банке, количество биомассы молодого леса, число бактерий в пробирке с питательной средой, население нашей планеты и т. д.

Если за одинаковые промежутки времени значения некоторой величины уменьшаются на одно и то же число p процентов, то по истечении n таких периодов времени из первоначального значения а этой величины образуется новое значение:

A_n=a\left(1-\frac{p}{100}\right)^n.   (2)

Очевидно, что при n = 0 получим А₀ = а. Формула (2) является формулой сложных процентов для случая убывающей величины[понятие: Формула сложных процентов для случая убывающей величины (liitprotsendilise kahanemise valem) – закономерность, в случае которой исходная величина 𝑎 уменьшается за каждый промежуток времени на 𝑝 процентов по сравнению со значением в начале промежутка времени. Если прошло 𝑛 таких промежутков времени, то новым значением будет 𝑎(1 – 𝑝/100)ⁿ.]. По такому закону с течением времени уменьшается масса радиоактивного вещества, стоимость автомобиля, оборудования завода и т. п.

Обозначим буквой b в формулах сложных процентов выражения 1+\frac{p}{100} и 1-\frac{p}{100} соответственно для возрастающей и убывающей величины, а саму эту величину – буквой y. Тогда формулы примут вид y = abⁿ, n ∈ N, причем в случае возрастающей величины b > 1 и в случае убывающей величины 0 < b < 1. Таким образом, закон, по которому происходит возрастание или убывание величины, задается функцией натурального аргумента:

y=ab^n,

где n ∈ N. Упомянутый закон называется также законом показательного[понятие: Показательный рост или убывание (liitprotsendiline kasvamine või kahanemine) – закономерность, в случае которой исходная величина 𝑎 возрастает или же убывает на 𝑝 процентов в каждый промежуток времени относительно предыдущего значения величины. Если прошло 𝑛 таких промежутков времени, то в случае возрастания новой величиной будет 𝑎(1 + 𝑝/100)ⁿ, а в случае убывания – 𝑎(1 – 𝑝/100)ⁿ.] (или экспоненциального) роста (убывания).