Мы уже знаем, как с помощью калькулятора найти десятичный или натуральный логарифм числа (см. § 3.6). Для этих логарифмов составлены также соответствующие таблицы различной точности. Что же касается логарифма числа по какому-нибудь другому основанию, то для его нахождения нужно предварительно перейти к основанию 10 или к основанию е.
Пример 1.
Найдем log2 1000.
Чтобы вычислить этот логарифм, нужно перейти либо к десятичным, либо к натуральным логарифмам, поскольку только для них есть соответствующие клавиши на калькуляторах. Перейдем к основанию 10. Обозначим искомую величину буквой r, т. е. log2 1000 = r. Тогда 1000 = 2r. Прологарифмируем последнее равенство по основанию 10 и получим: log 1000 = r ⋅ log 2. Отсюда:
С помощью аналогичного рассуждения выведем формулу для перехода от одного основания а логарифма к другому основанию b (b > 0, b ≠ 1). Пусть loga N = r, т. е. N = ar. Прологарифмируем последнее равенство по новому основанию b. Тогда:
.
Если b = N, то из формулы
.
Пример 2.
Решим уравнение
Перейдем во всех слагаемых к новому основанию 5:
Так как log5 25 = 2 и log5 625 = 4, то уравнение примет вид:
откуда x = 54 = 625. Нетрудно убедиться, что найденное значение x является корнем исходного уравнения.
