Логарифмическая функция

Как мы выяснили в § 3.3, показательная функция y = ax при а > 1 является возрастающей, а при 0 < а < 1 – убывающей. Поэтому, по теореме 2 § 2.16, в обоих случаях эта функция имеет обратную к ней функцию. Так как показательная функция непрерывна, то и обратная функция должна быть непрерывна. Найдем формулу обратной функции.

Из определения логарифма числа по основанию а, где a > 0 и a ≠ 1, вытекает, что запись r = loga N равнозначна записи аr = N. Отсюда следует, что для показательной функции y = ax обратная к ней функция задается равенством x = loga y, в котором у является независимой переменной, а х – зависимой переменной. Переходя к традиционным обозначениям, т. е. обозначив аргумент буквой х, а значения функции – буквой у, мы получим функцию y = loga x. Полученная так называемая логарифмическая функция[понятие: Логарифмическая функция (logaritmfunktsioon) – определенная на множестве положительных действительных чисел функция 𝑦 = logₐ 𝑥, где 𝑎 > 0 и 𝑎 ≠ 1. Функция, обратная к показательной функции 𝑦 = 𝑎ˣ.] определяется для основания a > 0, a ≠ 1, как и показательная функция.

Таким образом,

логарифмической функцией называется функция y = loga x, где a > 0 и a ≠ 1, являющаяся обратной к показательной функции y = ax с тем же основанием а.

Например, обратной функцией для показательной функции y = 3x является логарифмическая функция x = log3 y, или, в традиционных обозначениях, y = log3 x.

Так как логарифмическая функция является функцией, обратной к показательной, то ее областью определения служит множество значений показательной функции, а множеством значений – область определения показательной функции. Значит, областью определения логарифмической функции y = loga x является бесконечный интервал (0; ∞), а множеством значений – множество R всех действительных чисел.

График логарифмической функции получается из графика показательной функции с тем же основанием с помощью симметричного отображения относительно прямой y = x. Поэтому графики функций y = loga x и y = ax симметричны друг другу относительно указанной прямой (рис. 3.15 и 3.16). 

Рис. 3.15
Рис. 3.16

С помощью графика, который является непрерывной кривой, опишем свойства логарифмической функции.

  1. Если a > 1 (рис. 3.15), то функция y = loga x обладает следующими свойствами.
    1. Функция имеет единственный нуль: x0 = 1. График функции проходит через точку B(1; 0).
    2. График функции проходит через точку (a; 1).
    3. Областью положительности является интервал 1 < x < ∞, а областью отрицательности – интервал 0 < x < 1.
    4. Функция возрастает на всей области определения, т. е. на интервале 0 < x < ∞.
    5. При неограниченном увеличении аргумента x значения loga x также неограниченно увеличиваются. Если значения аргумента х неограниченно приближаются к нулю, то значения loga x неограниченно уменьшаются.
    6. Асимптотой графика функции является ось ординат.
  2. Если 0 < a < 1 (рис. 3.16), то функция у = loga x обладает следующими свойствами.
    1. Единственным нулем функции является та же точка x0 = 1. График функции проходит через точку B(1; 0).
    2. График функции проходит через точку (a; 1).
    3. Областью положительности является интервал 0 < x < 1, а областью отрицательности – интервал 1 < x < ∞.​
    4. Функция убывает на всей области определения, т. е. на интервале 0 < x < ∞.
    5. При неограниченном увеличении аргумента х значения loga x неограниченно уменьшаются. Если значения аргумента х неограниченно приближаются к нулю, то значения loga x неограниченно увеличиваются.
    6. Асимптотой графика функции является ось ординат.

Графики логарифмических функций y = log x и y = ln x изображены на рисунке 3.17. Эти графики являются непрерывными линиями. На рисунке также видно, как влияет на график увеличение основания логарифма.

Рис. 3.17

Пример 1.

Выясним, положительными или отрицательными являются данные числа: 1) log5 0,6; 2) log0,8 9; 3) ln 2.

Воспользуемся свойствами или, что еще лучше, графиком соответствующей логарифмической функции.

  1. a = 5 > 1 , следовательно, значение аргумента х = 0,6 принадлежит области отрицательности функции y = log5 x. Поэтому log5 0,6 < 0.
  2. log0,8 9 < 0, так как a = 0,8 < 1 и потому значение аргумента х = 9 принадлежит области отрицательности функции y = log0,8 x.
  3. ln 2 > 0, так как значение х = 2 принадлежит области положительности функции y = ln x, как видно на рисунке 3.17.

Пример 2.

Выясним, что больше: 1) log 2 или log 6; 2) log0,2 3 или log0,2 0,7.

  1. Так как а = 10 > 1, то функция y = log x является возрастающей и потому большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Значит, log 2 < log 6.
  2. Так как а = 0,2 < 1, то функция y = log0,2 x является убывающей и потому большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Значит, log0,2 3 < log0,2 0,7.

Использованные в примере 2 свойства логарифмических функций представим в виде следующей схемы:

если 0 < a < 1, то loga x1 > loga x2 ⇔ x1 < x2;

если a > 1, то loga x1 < loga x2 ⇔ x1 < x2.

Пример 3.

Решим неравенство log0,4 (2x – 4) < 0.

Решить данное неравенство – это значит найти область отрицательности функции y = log0,4 (2x – 4). Так как a = 0,4 < 1, то значения функции отрицательны, если логарифмируемое число больше 1. Значит, 2x – 4 > 1, или x > 2,5.

Пример 4.

Решим неравенство log (1 – x) < 2.

Запишем неравенство в виде: log (1 – x) < log 100. Поскольку при a = 10 > 1 большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то 1 – x < 100, откуда x > –99. Кроме того, следует учесть, что логарифмируемое выражение всегда должно быть положительным, т. е. 1 – x > 0, откуда x < 1. Следовательно, решение неравенства –99 < x < 1.

Пример 5.

Найдем область определения функции y = log (x2 – x3) , т. е. множество всех таких значений x, для которых можно вычислить значение функции. 

Логарифмируемое число всегда должно быть положительным:

x2 – x3 > 0, или x2 (1 – x) > 0.

Множитель x2 всегда неотрицателен, а в данном случае x ≠ 0, так как в противном случае нельзя вычислить значение логарифма. При этом условии 1 – x > 0, откуда x < 1. Поскольку x ≠ 0, то область определения X данной функции состоит из двух интервалов:

x < 0, 0 < x <1, т. е. X = (–∞; 0)∪(0; 1).

С помощью логарифмической функции описываются многие природные явления.

Пример 6.

Если два источника звука имеют уровни громкости I и I0, то их различие L измеряют в децибелах (дБ, dB) и вычисляют по формуле L=10\cdot\log\frac{I}{I_0}. Если за величину I0 принять наименьшую громкость, усваиваемую человеком (уровень слышимости), то формула L=10\cdot\log\frac{I}{I_0} позволяет найти, с какой громкостью воспринимает человек звук с уровнем громкости I. Вычислим:

  1. во сколько раз действительная громкость звука I превышает уровень слышимости I0, если человек слышит звук громкостью I с громкостью L = 1 дБ;
  2. с какой громкостью воспринимает человек звук, если действительная его громкость I = 126 · I0?
  1. Так как L = 1 дБ, то 1=10\cdot\log\frac{I}{I_0}, откуда \log\frac{I}{I_0}=0,1 и I\approx1,26\cdot I_0.
  2. Согласно условиям задачи получим: L=10\cdot\log\frac{126I_0}{I_0} = 10\cdot\log126 ≈ 21.

Сравнивая эти два случая, мы видим, что если действительная громкость звука возрастает в 100 раз (1,26I0 и 126I0), то для человеческого уха эта громкость увеличивается лишь в 21 раз (1 дБ и 21 дБ).

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения A

Задание 662. Нахождение обратной функции

Данная функция

Обратная функция

y=6^x

y = 

y=0,3^x

y = 

y=2^{3x}

y = 

Данная функция

Обратная функция

y=0,6^{2x}

y = 

y=2^{-x}

y = 

y=3^{-4x}

y = 

Данная функция

Обратная функция

y=\log_8x

y = 

y=\log_{1,2}x

y = 

y=\log_{0,1}x

y = 

Задание 663. Логарифмическая функция

Каковы у этих функций их области определения, области положительности и отрицательности, интервалы возрастания и убывания? Есть ли у них точки экстремума?

X

X_0

X^+

X^-

X\uparrow

X\downarrow

X_e

y=\log_6x

y=\log_2x

Задание 664. Логарифмическая функция
Рис. 3.15
Рис. 3.16

Ответ: для логарифмической функции на рисунке 3.15 a = , а для функции на рисунке 3.16 a = .

Задание 665. Логарифмическая функция

Учитывая, что графики функций \log_ax и \log_{\frac{1}{a}}x cимметричны друг другу относительно оси абсцисс, постройте в одной системе координат графики функций  y=\log_{\frac{1}{6}}x и y=\log_{0,5}x. Как влияет изменение основания логарифма 0 < a < 1 на расположение графика соответствующей функции?

Каковы у этих функций их области определения, области положительности и отрицательности, интервалы возрастания и убывания? Есть ли у них точки экстремума?

Ответ: в обоих случаях: X = , X_0 = , X^+ = , X^- = , X\uparrow = , X\downarrow = , X_э = .

Задание 666. Логарифмическая функция

Ответ: X = , X_0 = , X^+ = , X^- = , X\uparrow = , X\downarrow = , X_э = .

Задание 667. Логарифмическая функция

Ответ:X = , X_0 = , X^+ = , X^- = , X\uparrow = , X\downarrow = , X_э = .

Ответ: X = , X_0 = , X^+ = , X^- = , X\uparrow = , X\downarrow = , X_э = .

Задание 668. Значение логарифма

Значение \log_46 

Значение \log_27 

Значение \log_50,49 

Значение \log_{0,83}4 

Значение \log_{0,2}0,7 

Значение \log_41 

Значение \log0,6 

Значение \log9 

Значение \ln3 

Значение \ln0,4 

Значение \ln0,7 

Значение \log66 

Задание 669. Значение логарифма

\log_23  \log_210

\log_50,9  \log_54

\log_{0,5}0,6  \log_{0,5}6

\log_{0,1}10  \log_{0,1}8

\log_{\sqrt{2}}1  \log_{\sqrt{2}}0,7

\log\frac{1}{7}  \log7

\log0,73  \log0,74

\ln5  \ln6

\ln0,125  \ln2^{-3}

\ln2^{-7}  \ln2^{-6}

Задание 670. Область определения функции

Данная функция

Область определения

\log_ax

\log_a\left(-x\right)

\log_a\left(x+4\right)

Данная функция

Область определения

\log\left(x^2-1\right)

\log_ax^2

\log\left(2x-3\right)

Данная функция

Область определения

\log_3\left(x^2-10x+21\right)

\log_28x

\ln\left(x^2+5x\right)

Задание 671. Громкость звука

Если два источника звука имеют уровни громкости I и I0, то их различие L измеряют в децибелах (дБ, dB) и вычисляют по формуле L=10\cdot\log\frac{I}{I_0}.

С помощью формулы найдите:

  1. сколько децибелов составляет громкость звука, если:
    1. I = I0,

      Ответ: громкость звука составляет  дБ.
    2. I =1000 I0, т. е. слышна тихая спокойная музыка?

      Ответ: громкость звука составляет  дБ.
  2. во сколько раз действительная громкость звука I превосходит предел слышимости I0, если
    1. происходит беседа (L = 65 дБ);

      Ответ: действительная громкость звука превосходит предел слышимости в  раз.
    2. слышен раскат грома (L = 110 дБ)?

      Ответ: действительная громкость звука превосходит предел слышимости в раз.
Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения Б

Задание 672. Доказательство

Докажите, что графики функций y=\log_ax иy=\log_{\frac{1}{a}}x cимметричны друг другу относительно оси абсцисс.

Задание 673. Значение логарифма

\log_2b
Если , то значение отрицательно, если , то положительно.

\log_{0,1}b
Если , то значение отрицательно, если , то положительно.

\log_a10;
Если , то значение отрицательно, если , то положительно.

\log_a0,3;
Если , то значение отрицательно, если , то положительно.

Задание 674. Значение логарифма

\log_4a или \log_4b.

Ответ: если a > b, то

\log_4a  \log_4b;

если a < b, то

\log_4a  \log_4b;

если a = b, то

\log_4a  \log_4b.

\log_a1 или \log_a2.

Ответ: если 0 < a < 1, то

\log_a1  \log_a2;

если a > 1, то

\log_a1  \log_a2.

Задание 675. Область определения функции

Данная функция

Область определения

\log\frac{x+1}{x-2}

\log\frac{4-x}{x}

\ln\left(8x+4\right)

Задание 676. Решение логарифмических неравенств

\log_2x>0

\log_3x<0

\log_{0,5}x>0

\log_{0,7}x<0

\log\left(x-5\right)>0

\log\left(1-x\right)<0

\ln\left(x^2-1\right)<0

\ln\left(2x-3\right)<0

\log_{0,6}\left(8x+7\right)>0

\log_2x>1

\log\left(x^2+36\right)<2

\log\left(x-2\right)<\log2x

\log_{0,1}x>-1

\log_{0,3}\left(x+5\right)<2

\ln x^2<2

Seotud sisu
Muud tegevused