Логарифмические уравнения

Пример 1.

Логарифмическими являются, например, уравнения

Пример 2.

Решим уравнение

\log_5\left(x-3\right)+\log_5\left(x+3\right)-\log_5\left(x+1\right)=1.

Воспользуемся формулами, полученными в § 3.7. Тогда уравнение примет вид

\log_5\frac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{x+1}=1, или \log_5\frac{x^2-9}{x+1}=1.

По определению логарифма получим

\frac{x^2-9}{x+1}=5, откуда x² – 5x – 14 = 0. Корнями последнего уравнения будут x₁ = –2 и x₂ = 7.

Проверка. Так как при x = –2 некоторые из логафирмируемых выражений в исходном уравнении принимают отрицательные значения, то x = –2 не является корнем исходного уравнения. (Даже несмотря на то, что x = –2 является корнем промежуточного уравнения \log_5\frac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{x+1}=1). В то же время, x = 7 является корнем, так как

\log_5\left(7-3\right)+\log_5\left(7+3\right)-\log_5\left(7+1\right) = \log_54+\log_510-\log_58 = \log_5\frac{4\cdot10}{8} = \log_55 = 1.

Ответ: x = 7.

Пример 3.

Решим уравнение \log_32\cdot\log_2x\cdot\log_x\left(2x-3\right)=\log_3x.

Поскольку уравнение содержит логарифмы с разными основаниями, то перейдем к одному и тому же основанию, например, к основанию 10:

\frac{\log2}{\log3}\cdot\frac{\log x}{\log2}\cdot\frac{\log\left(2x-3\right)}{\log x}=\frac{\log x}{\log3}.

Упростив это уравнение, получим

log(2x – 3) = log x, откуда 2x – 3 = x и, следовательно, x = 3.

Проверка. Поскольку \log_32\cdot\log_23\cdot\log_3\left(2\cdot3-3\right) = \log_32\cdot\frac{1}{\log_32}\cdot\log_33 = \log_33 = 1 и, кроме того, \log_33=1, то x = 3 является корнем исходного уравнения.

Пример 4.

Решим уравнение[cноска: Для краткости записи выражение (logₐ 𝑥)ⁿ часто записывают в виде logⁿₐ 𝑥. Таким образом, (logₐ 𝑥)² = logₐ² 𝑥 и т. д.] \log_3^2\ x-6\log_3x+8=0.

Данное уравнение является квадратным уравнением относительно \log_3x. Поэтому

\log_3x=3\pm\sqrt{9-8}=3\pm1,

тогда

\log_3x=2   или   \log_3x=4.

Отсюда получим соответственно

x_1=3^2=9, x_2=3^4=81.

Проверка.

1. \log_3^2\ 9-6\log_39+8=2^2-6\cdot2+8=0
2. \log_3^2\ 81-6\log_381+8=4^2-6\cdot4+8=0

Корнями уравнения являются x_1=9 и x_2=81.

Пример 5.

Решим уравнение x^{\log x}=100.

Данное уравнение не является ни показательным, ни логарифмическим. Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10, получим

\log x\cdot\log x=\log100, т. е. \log^2x=2.

Отсюда

\log x=\pm\sqrt{2}

и

x_1=10^{\sqrt{2}}, x_2=10^{-\sqrt{2}}.

Проверка.

\left(10^{\sqrt{2}}\right)^{\log10^{\sqrt{2}}}=\left(10^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}=10^2=100.

\left(10^{-\sqrt{2}}\right)^{\log10^{-\sqrt{2}}}=\left(10^{-\sqrt{2}}\right)^{-\sqrt{2}}=10^2=100.

Поскольку оба найденных значения x удовлетворяют исходному уравнению, то оно имеет два корня x_1=10^{\sqrt{2}} и x_2=10^{-\sqrt{2}}.