В 10-м классе мы познакомились с понятиями дугового радиана и углового радиана[понятие: Радиан – см. угловой радиан.]:
дуговым радианом[понятие: Дуговой радиан (kaareradiaan) – дуга окружности, длина которой равна радиусу.] называется дуга окружности, длина которой равна радиусу. Угловым радианом[понятие: Угловой радиан, или радиан (radiaan) – острый центральный угол, опирающийся на дуговой радиан.] называется острый центральный угол, опирающийся на дуговой радиан.
Подчеркнем при этом, что число, выражающее в радианах длину окружности (а также и величину угла), является неименованным числом, поскольку, например, число дуговых радианов получается при делении длины дуги на длину соответствующего радиуса.
*Будем последовательно откладывать на окружности в положительном направлении от точки A дуговой радиан как единицу измерения дуги (рис. 3.18). В результате мы получим на окружности точки B, C, D, F, G, H, соответствующие числам 1, 2, 3, 4, 5, 6, так как дуги AB, AC, AD, AF, AG, AH равны соответственно 1, 2, 3, 4, 5, 6 дуговым радианам. Поскольку каждой дуге соответствует опирающийся на нее центральный угол, то можно сказать, что числам 1, 2, 3, 4, 5, 6 соответствуют углы ∠ AOB = 1 рад, ∠ AOC = 2 рад, …, ∠ AOH = 6 рад. Аналогично, числу 0,72 (точка I) соответствует угол в 0,72 радиана, а числу π – угол в π радиан.
Если продолжить от точки H откладывание углового радиана, то мы получим точки окружности, соответствующие целым числам 7 (точка I, 7 ≈ 2π + 0,72), 8, … . Полученные ранее точки A, B, C, … будут теперь соответствовать числам 2π , 2π +1, 2π + 2, … После того как в процессе откладывания дугового радиана мы превысим удвоенную длину окружности, точки A, B, C, … станут означать числа 4π, 4π +1, 4π + 2, … и им будут соответствовать центральные углы в 4π рад, 4π +1 рад, 4π + 2 рад …
Таким образом, каждому положительному числу соответствуют точка окружности и некоторый центральный угол, величина которого в радианах выражается данным числом.
Аналогичный результат можно получить и для отрицательных чисел: в отрицательном направлении обхода окружности каждому отрицательному числу соответствуют некоторая точка и некоторый центральный угол, величина которого в радианах выражается данным числом. Для этого нужно откладывать дуговой радиан от точки A в отрицательном направлении.
Подведем итог: каждому действительному числу х соответствует угол в х радиан.
Согласно определениям синуса, косинуса и тангенса, каждому углу х соответствует одно определенное значение синуса, косинуса, а также тангенса при условии
Следовательно, каждому действительному числу х соответствуют одно значение синуса, одно значение косинуса и одно значение тангенса. Получаем соответствия, приводящие к определению так называемых тригонометрических функций y = sin x, y = cos x, y = tan x. Эти функции будут изучены в следующих разделах.
Повторим схематически полученную цепочку соответствий: действительное число → число радиан в дуге окружности → центральный угол в радианах → значение синуса, косинуса или тангенса.
Пример 1.
Числу 4 соответствуют 4 дуговых радиана, дуге в 4 радиана соответствует центральный угол, а последнему – значения sin 4 ≈ –0,757, cos 4 ≈ –0,654, tan 4 ≈ 1,158.*
Напомним, что для тригонометрических функций выполнены следующие равенства:
sin(x + 2nπ) = sin x
cos(x + 2nπ) = cos x
tan(x + nπ) = tan x
и
sin(–x) = –sin x
cos(–x) = cos x
tan(–x) = –tan x
Изученные ранее формулы приведения могут быть легко получены (и применены), если запомнить следующее правило: в случае углов π – x, π + x и 2π – x значение их синуса переходит в sin x, значение косинуса – в cos x, а тангенса – в tan x, причем эти последние величины берутся со знаком “+” или “–“ в зависимости от знака синуса, косинуса или тангенса в той четверти, которой принадлежит исходный угол π – x, π + x, 2π – x. При определении знака угол x считается острым углом.
Пример 2.
sin(π + x) = –sin x, так как в третьей четверти синус отрицателен;
tan(2π – x) = –tan x, так как в четвертой четверти тангенс отрицателен;
cos(2π – x) = cos x, так как в четвертой четверти косинус положителен.
Пример 3.
Упростим выражение
Воспользуемся формулами, приведенными выше:
