Функция синус

Пример 1.

С помощью графика функции y = sin x (рис. 3.19) найдем: 1) какой знак имеет значение sin 3,5; 2) что больше, sin 2 или sin 3.

1. Так как π < 3,5 < 2π, то значение аргумента х = 3,5 принадлежит области отрицательности функции y = sin x и потому sin 3,5 < 0.
2. Так как \frac{\pi}{2}<2<3<\pi, то данные значения аргумента принадлежат интервалу убывания функции, следовательно, sin 2 > sin 3.

Пример 2.

Решим уравнение \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}.

Начертим график функции y = sin x и проведем на том же чертеже прямую y=-\frac{\sqrt{3}}{2} (рис. 3.20). Корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения синусоиды и прямой. Так как \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}, то абсциссами точек A и B будут соответственно \pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3} и 2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}, поскольку \sin\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)=-\sin\frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2} и \sin\left(2\pi-\frac{\pi}{3}\right)=-\sin\frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.

Рис. 3.20

Интересующие нас точки повторяются через каждые 2π. Поэтому решениями уравнения \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2} будут x_1=\frac{4\pi}{3}+n\cdot2\pi и x_2=\frac{5\pi}{3}+n\cdot2\pi, где n ∈ Z; 

Например, при n = –1 получим соответственно -\frac{2\pi}{3} и -\frac{\pi}{3}, а при n = 1 получим корни \frac{10\pi}{3} и \frac{11\pi}{3}.

Пример 3.

Построим график функции y = 2 – sin x на отрезке [–π; 2π] и выясним по графику свойства этой функции.

График можно построить на компьютере, например, с помощью программы GeoGebra.

Однако нетрудным является построение графика с помощью изученных ранее преобразований графика функции, зная, как влияют на исходный график числовые коэффициенты и слагаемые. Построим сначала график функции y = sin x (рис. 3.21), затем – график функции y = –sin x и, наконец, график функции y = 2 – sin x. При одном и том же значении х ординаты соответствующих точек графиков функций y = sin x и y = –sin x являются противоположными числами. Поэтому график функции y = –sin x получается из синусоиды y = sin x симметричным отображением относительно оси Ох. Наконец, чтобы получить график функции y = 2 – sin x, нужно сдвинуть все точки графика функции y = –sin x на 2 единицы вверх.

Рис. 3.21

В качестве области определения функции y = 2 – sin x мы взяли отрезок [–π; 2π], нулей функция не имеет (график не пересекает ось абсцисс), область положительности X⁺ = [–π; 2π] и потому область отрицательности X^– = ∅. Интервалами возрастания являются X_1\uparrow=\left[-\pi;\ -\frac{\pi}{2}\right), X_2\uparrow=\left(\frac{\pi}{2};\ \frac{3\pi}{2}\right), а интервалами убывания X_1\downarrow=\left(-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right) и X_2\downarrow=\left(\frac{3\pi}{2};\ 2\pi\right].

Пример 4.

С помощью графика функции y = sin x решим неравенство \sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}.

Для этого снова воспользуемся рисунком 3.20, на котором изображены синусоида и прямая y=-\frac{\sqrt{3}}{2}. Поскольку \sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}, то мы должны найти множество всех точек оси абсцисс, для которых график функции y = sin x расположен ниже прямой y=-\frac{\sqrt{3}}{2}. Это свойство выполняется на интервале \frac{4\pi}{3}<x<\frac{5\pi}{3}, так как точки A и B имеют соответственно абсциссы \frac{4\pi}{3} и \frac{5\pi}{3} (см. пример 2). Чтобы получить все множество решений неравенства, воспользуемся периодичностью синуса. Получим, что множество решений неравенства \sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2} состоит из интервалов

…, -\frac{2\pi}{3}<x<\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}<x<\frac{5\pi}{3}, \frac{10\pi}{3}<x<\frac{11\pi}{3}, …

или, в краткой записи,

\frac{4\pi}{3}+2n\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2n\pi, n ∈ Z.