Функция косинус

Определение и свойства функции косинус[понятие: Функция косинус (koosinusfunktsioon) – определенная на множестве всех действительных чисел тригонометрическая функция 𝑦 = cos 𝑥, где 𝑥 – величина угла в радианах.], т. е. функции y = cos x, могут быть получены так же, как и для функции синус.

Областью определения функции y = cos x является множество R всех действительных чисел. Множеством значений функции косинус является отрезок [–1; 1], т. е.
​–1 ≤ cos x ≤ 1, или |cos x| ≤ 1.

Из соотношения cos(–x) = cos x вытекает, что

функция y = cos x является четной функцией

и

график функции косинус симметричен относительно оси ординат.

Поскольку cos(x + n · 2π) = cos x, то значения функции повторяются через каждые 2π. Следовательно,

функция y = cos x является периодической функцией с периодом 2π.

График функции косинус (рис. 3.23) может быть построен по точкам (сначала на отрезке длиной 2π) или с помощью компьютера так же, как и график синуса.

Рис. 3.23

Но можно применить и другой способ – преобразование графика функции (см. раздел 2.14). Преобразуем выражение cos x следующим образом:

\cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \sin\left[\pi-\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right] = \sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right).

Следовательно, график функции y = cos x получается сдвигом графика функции y = sin x вдоль оси абсцисс на \frac{\pi}{2} единиц влево. График функции косинус изображен на рисунке 3.23.

Функция y = cos x непрерывна.

Пример 1.

Сравним значения cos (–3) < cos (–1). Поскольку значения аргумента –3 и –1 принадлежат одному из интервалов возрастания функции косинус (–π < –3 < –1 < 0), то cos(–3) < cos(–1).

Пример 2.

Выясним знак cos (–5,8).

Так как значение аргумента –5,8 принадлежит области положительности функции косинус

-\frac{5\pi}{2}\approx-7,85<-5,8<-\frac{3\pi}{2}\approx-4,71,

то cos (–5,8) > 0.

Пример 3.

С помощью графика функции y = cos x решим уравнение cos x = 0,5 и неравенство cos x < 0,5.

Начертим график функции косинус и на том же чертеже проведем прямую y = 0,5 (рис. 3.24). Корнями уравнения cos x = 0,5 являются абсциссы точек пересечения графика с упомянутой прямой.

Joon. 3.24​

Так как \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\frac{\pi}{3}=0,5, то абсциссами точек A и B являются соответственно -\frac{\pi}{3} и \frac{\pi}{3}. Учитывая периодичность с периодом 2π, получим, что корнями уравнения cos x = 0,5 будут

…, -\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{11\pi}{3}, … и -\frac{5\pi}{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, …

т. е. значения аргумента

x_1=-\frac{\pi}{3}+2n\pi и x_2=\frac{\pi}{3}+2n\pi, где n ∈ Z.

* Неравенство cos x < 0,5 решим с помощью того же чертежа. Теперь нас интересует множество всех точек оси абсцисс, в которых график функции y = cos x расположен ниже прямой y = 0,5. Из рисунка видно, что это свойство выполнено для всех х из интервала \frac{\pi}{3}<x<\frac{5\pi}{3}. Учитывая периодичность косинуса, получим, что множество решений неравенства cos x < 0,5 состоит из интервалов

..., -\frac{5\pi}{3}<x<-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}<x<\frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}<x<\frac{11\pi}{3}, …

или

\frac{\pi}{3}+2n\pi<x<\frac{5\pi}{3}+2n\pi, n ∈ Z.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения A

Задание 703. Значения функции y = cos x

Значение аргумента

x=\frac{\pi}{6}

x=\frac{\pi}{2}

x=-\frac{\pi}{6}

x=\frac{9\pi}{10}

Значение функции

Значение аргумента

x=\frac{17\pi}{6}

x=-\frac{113\pi}{14}

x=2,04

x=-3

Значение функции

Задание 704. Решение уравнения

Ответ: x = , где n ∈ Z.

Задание 705. Исследование функции косинус
Рис. 3.23
  1. область положительности и область отрицательности.
    Ответ: X^+ = , X^- = 
  2. интервалы возрастания и интервалы убывания.
    Ответ: X_n\uparrow = , X_n\downarrow = 
  3. точки экстремума и соответствующие значения функции.
    Ответ: E_{\max}; E_{\min}
Задание 706. Определение знака выражения

Выражение

Знак выражения

\cos8

\cos\left(-5,6\right)

\cos1

\cos\frac{5\pi}{8}

Задание 707. Сравнение

\cos0,8  \cos1,8

\cos\left(-\pi\right)  \cos\left(-2\pi\right)

\cos8  \cos6,4

\cos\left(-5\right)  \cos3

Задание 708. Построение графика функции

y=2\cos x, -\pi\le x\le2\pi

y=\cos x-1, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}

y=-\cos x, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}

y=1-\cos x, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}

Задание 709. Нули функции

y=2\cos x, -\pi\le x\le2\pi

Ответ: X_0 = 

y=\cos x-1, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}

Ответ: X_0 = 

y=-\cos x, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}

Ответ: X_0 = 

y=1-\cos x, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}

Ответ: X_0 = 

Задание 710. Область положительности и область отрицательности функции

y=2\cos x, -\pi\le x\le2\pi

Ответ: X^+ = , X^- = 

y=\cos x-1, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}

Ответ: X^+ = , X^- = 

y=-\cos x, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}

Ответ: X^+ = , X^- = 

y=1-\cos x, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}

Ответ: X^+ = , X^- = 

Задание 711. Интервалы возрастания, интервалы убывания, точки экстремума и экстремумы функции

y=2\cos x, -\pi\le x\le2\pi

Ответ: X_1\uparrow = , X_2\uparrow = , X\downarrow = , точки максимума графика есть  и  , а точки минимума –   и .

y=\cos x-1, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}

Ответ: X\uparrow = , X_1\downarrow = , X_2\downarrow = , точка максимума графика есть  , а точка минимума –  .

y=-\cos x, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}

Ответ: X_1\uparrow = , X_2\uparrow = , X_1\downarrow = , X_2\downarrow = , точки максимума графика есть  и  , а точка минимума –  .

y=1-\cos x, -\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}

Ответ: X_1\uparrow = , X_2\uparrow = , X_1\downarrow = , X_2\downarrow = , точки максимума графика есть  и  , а точка минимума –  .

Задание 712. Наибольшее и наименьшее значения функции

y=3+4\cos x

Ответ: функция принимает наибольшее значение при значениях аргумента , n ∈ Z, и это значение равно , а наименьшее значение – при значениях аргумента  , n ∈ Z, и это значение равно .

y=1-\cos x

Ответ: функция принимает наибольшее значение при значениях аргумента , n ∈ Z, и это значение равно , а наименьшее значение – при значениях аргумента , n ∈ Z, и это значение равно .

y=1,5\cos x

Ответ: функция принимает наибольшее значение при значениях аргумента , n ∈ Z, и это значение равно , а наименьшее значение – при значениях аргумента , n ∈ Z, и это значение равно .

y=\cos^2x

Ответ: функция принимает наибольшее значение при значениях аргумента , n ∈ Z, и это значение равно , а наименьшее значение – при значениях аргумента , n ∈ Z, и это значение равно  .

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения Б

Задание 713. Колесо обозрения
Рис. 3.25

Ответ: если угол выражен в радианах, то искомой функцией является y = . Если угол выражен в градусах, то искомая функция есть у = .

  • Запишите конкретную функцию, если r = 6 м и t0 = 8 мин.
    Ответ: y =  (в радианах), y =  (в градусах).
  • Постройте график этой функции на промежутке 0 ≤ t ≤ 8.
Задание 714. Построение графика функции

y=1+0,5\cos x, 0\le x\le\frac{5\pi}{2}

Ответ: X_0 = ; X^+ = ; X^- = ; X\uparrow = ; X_1\downarrow = ; X_2\downarrow = ; точки максимума графика есть  и , а точка минимума –  .

y=-2+2\cos x, 0\le x\le2\pi

Ответ: X_0 = ; X^+ = ; X^- = ; X\uparrow = ; X\downarrow = ; точки максимума графика есть  и , а точка минимума –  .

Задание 715. Решение уравнения

\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}

Ответ: ..., , , , ... и
..., , , , ...
, или x1 =  и x2 = , n ∈ Z.

\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}

Ответ: ..., , , , ... и
..., , , , ...
, или x1 =  и x2 = , n ∈ Z.

\cos x=-\frac{1}{2}

Ответ: ..., , , , ... и
..., , , , ...
, или x1 =  и x2 = , n ∈ Z.

\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}

Ответ: ..., , , , ... и
..., , , , ...
, или  x1 =  и x2 = , n ∈ Z.

\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}

Ответ: ..., , , , ... и
..., , , , ...
, или x1 =  и x2 = , n ∈ Z.

\cos x=0,4

Ответ: ..., , , , ... и
..., , , , ...
, или x1 ≈  и x2 ≈ , n ∈ Z.

Задание 716. Решение неравенств

\cos x>\frac{1}{2}

Ответ:  < x < , n ∈ Z.

\cos x<\frac{\sqrt{2}}{2}

Ответ:  < x < , n ∈ Z.

\cos x<-\frac{1}{2}

Ответ:  < x < , n ∈ Z.

\cos x<\frac{\sqrt{3}}{2}

Ответ:  < x < , n ∈ Z.

\cos x>-\frac{1}{2}

Ответ:  < x < , n ∈ Z.

\cos x>0

Ответ:  < x < , n ∈ Z.

Seotud sisu
Muud tegevused