Функция тангенс

Функцией тангенс[понятие: Функция тангенс (tangensfunktsioon) – тригонометрическая функция, заданная формулой 𝑦 = tan 𝑥, определенная на множестве действительных чисел, из которого исключены числа вида (2𝑛 + 1)π/2.] называется функция, заданная формулой y = tan x, где $x \neq (2 n + 1) \frac{π}{2}$ , n ∈ Z.

Область определения функции y = tan x состоит из интервалов

…, -\frac{3\pi}{2}<x<-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{2}, …

другими словами, ее областью определения является множество R действительных чисел, за исключением чисел (точек) вида \left(2n+1\right)\frac{\pi}{2}, где n ∈ Z.

Из соотношения tan (–x) = –tan x вытекает, что

функция y = tan x является нечетной функцией

и потому

график функции тангенс симметричен относительно начала координат.

Из материала 10-го класса известно, что для любого n ∈ Z выполнено равенство tan (x + nπ) = tan x. Поэтому значения tan x повторяются через каждые π единиц.

Таким образом,

функция y = tan x является периодической функцией с периодом π.

Из периодичности функции тангенс следует, что достаточно сначала построить график на промежутке длиной π, например, на интервале \left(-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right) и затем продолжить на всю область определения. На интервале \left(-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right), график функции y = tan x можно построить с помощью компьютера или же по точкам, выбрав достаточное число значений аргумента.

График функции y = tan x называется тангенсоидой[понятие: Тангенсоида (tangensoid) – название графика функции тангенс.]. Он изображен на рисунке 3.26.

Рис. 3.26

График состоит из отдельных непрерывных линий, называемых ветвями тангенсоиды. Каждая из ветвей имеет две вертикальные асимптоты (они изображены пунктирными прямыми). Уравнения асимптот можно записать в виде

x=\left(2n+1\right)\frac{\pi}{2}, где n ∈ Z.

В точках оси абсцисс x=\left(2n+1\right)\frac{\pi}{2} график тангенса имеет разрывы.

Множеством значений функции y = tan x является множество R всех действительных чисел. Эта функция является возрастающей на каждом из интервалов, из которых состоит ее область определения.

Пример 1.

Выясним знак \tan\frac{9\pi}{4}.

Значение аргумента x=\frac{9\pi}{4} принадлежит области положительности функции тангенс \left(2\pi<\frac{9\pi}{4}<\frac{5\pi}{2}\right), следовательно, \tan\frac{9\pi}{4}>0.

Пример 2.

Сравним значения tan (–3,7) и tan (–2).

Значения аргумента x = –3,7 и х = –2 принадлежат одному и тому же интервалу -\frac{3\pi}{2}<x<-\frac{\pi}{2}, на котором функция тангенс возрастает.

Поэтому tan(–3,7) < tan(–2).

Пример 3.

Решим уравнение tan x = 1 и неравенство tan x > 1.

Так как одним из корней уравнения tan x = 1 является x=\frac{\pi}{4} и других корней в интервале \left(-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right) нет (почему?), то остается воспользоваться периодичностью тангенса с периодом π. Получим, что корнями уравнения являются числа

…, -\frac{7\pi}{4}, -\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \frac{13\pi}{4}, … или, в краткой записи, x=\frac{\pi}{4}+n\pi, где n ∈ Z.

* Поскольку \tan\frac{\pi}{4}=1 и интервалом возрастания функции тангенс, которому принадлежит значение аргумента x=\frac{\pi}{4}, является интервал \left(-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right), то в этом интервале неравенство tan x > 1 выполняется при -\frac{\pi}{4}<x<\frac{\pi}{2}. Так как функция tan x > 1 периодична с периодом π, то множество решений неравенства tan x > 1 состоит из интервалов …,

…, -\frac{3\pi}{4}<x<-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}<x<\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{4}<x<\frac{3\pi}{2}, …

или

\frac{\pi}{4}+n\pi<x<\frac{\pi}{2}+n\pi, n ∈ Z.

С помощью понятия котангенса можно определить функцию котангенс, заданную равенством y = cot x, где x = πn, n ∈ Z.

Имеет место равенство \cot\ x=\frac{\cos\ x}{\sin\ x}.

Seotud sisu

Упражнения A

Задание 717. Значения функции y = tan x

Значение аргумента	x=0	x=\frac{\pi}{3}	x=\frac{\pi}{2}	x=-\frac{\pi}{4}
Значение функции

Значение аргумента	x=\frac{7\pi}{10}	x=\frac{4\pi}{9}	x=1,03	x=-3,1
Значение функции

Задание 718. Исследование функции тангенс

Рис. 3.26

область положительности и область отрицательности.
Ответ: X^+ = , X^- =
нули.
Ответ: X_0 =
интервалы возрастания и интервалы убывания (если они существуют).
Ответ: X_n\uparrow = , X\downarrow =
экстремумы (если они существуют).
Ответ: X_э =

Задание 719. Определение знака выражения

Выражение	Знак выражения
\tan4,5
\tan\left(-6\right)
\tan\left(-1,8\right)
\tan6

Выражение	Знак выражения
\tan\frac{7\pi}{4}
\tan\left(-\frac{\pi}{2}\right)
\tan\left(-2\pi\right)
\tan\frac{2\pi}{3}

Задание 720. Сравнение

\tan\frac{\pi}{3} \tan\frac{4\pi}{9}

\tan\left(-\frac{5\pi}{12}\right) \tan\frac{\pi}{18}

\tan3,2 \tan4

\tan\left(-0,4\right) \tan1

Seotud sisu