*Периодические функции

Как мы выяснили, тригонометрические функции являются периодическими, причем функции синус и косинус имеют период 2π, а период функции тангенс равен π.

В общем случае функция y = f(x) называется периодической[понятие: Периодическая функция (perioodiline funktsioon) – функция 𝑦 = 𝑓 (𝑥), которая при любом значении 𝑥 из своей области определения удовлетворяет соотношению 𝑓 (𝑥 ± 𝑝) = 𝑓 (𝑥), т. е. функция, значение которой не изменяется, если к значению аргумента прибавить или отнять определенное положительное число 𝑝 (период функции).], если для нее существует такое число p > 0, что при любом х из области определения функции числа х – р и х + р также принадлежат этой области и выполняется равенство

f (x + p) = f (x), x ∈ X.          (1)

Заметим, что тогда f(x – p) = f(x – p + p) = f(x). Число р называется периодом[понятие: Период функции (funktsiooni periood) – наименьшее положительное число 𝑝, для которого для любого значения 𝑥 из области определения функции 𝑦 = 𝑓 (𝑥) выполнены соотношения 𝑓 (𝑥 ± 𝑝) = 𝑓 (𝑥).] функции. В дальнейшем, говоря о периоде, мы будем понимать под ним наименьшее положительное число р, для которого выполнено равенство (1).

Для тригонометрических функций соответствующие равенства f (x + p) = f (x) имеют вид:

sin(x + 2π) = sin x,
​cos(x + 2π) = cos x,
​tan(x + π) = tan x.

Пример 1.

Функция f (x) = 3 – 2 sin x является периодической с периодом p = 2π, так как

f (x + 2π) = 3 – 2 sin(x + 2π) = 3 – 2 sin x = f (x).

Пример 2.

Выясним, является ли периодической функция y = cos 0,5x.

Проверим, является ли ее периодом число p = 2π. Получим:

cos 0,5(x + 2π) = cos (0,5x + π) = –cos 0,5x.

Значит, число 2π не является периодом. Возьмем p = 4π.

Тогда

cos 0,5(x + 4π) = cos (0,5x + 2π) = cos 0,5x.

Таким образом, функция является периодической с периодом 4π.

Если функция y = f (x) является периодической с периодом р, то ее график можно разбить на одинаковые части, соответствующие промежуткам оси абсцисс длиной р. График такой функции совершенно одинаков как в промежутках

\left[x_0;\ x_0+p\right]; \left[x_0+p;\ x_0+2p\right]; \left[x_0+2p;\ x_0+3p\right]; …,

так и в промежутках

\left[x_0;\ x_0+p\right]; \left[x_0-p;\ x_0\right]; \left[x_0-2p;\ x_0-p\right]; … .

График некоторой периодической функции изображен на рисунке 3.27.

Pис. 3.27

Такие же особенности имеют графики функций y = sin x, y = cos x и y = tan x. Периодическими оказываются и функции y = sin kx, y = cos kx и y = tan kx. Их периодами являются соответственно p=\frac{2\pi}{k}, p=\frac{2\pi}{k} и p=\frac{\pi}{k}. Два соответствующих примера приведены на рисунках 3.28 и 3.29.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения Б

Задание 723. Периодические функции

y=\sin x+\cos x
f ( x + ) =  = 

y=4+2\cos x
f (x + ) =  = 

y=2+\tan x
f (x + ) =  = 

y=\sin x+\tan x
f (x + ) =  = 

y=\sin2x
f (x + ) =  = 

y=\tan\frac{3}{4}x
f (x + ) =  = 

y=\cos\left(x+2\right)
f (x + ) =  = 

y=\tan4x
f (x + ) =  = 

y=\sin0,5x-\cos x
f (x + ) =  = 

Задание 724. Исследование функции
Рис. 3.28

Ответ: X_0 = ; X^+ = ; X^- = ; X\uparrow = ; X\downarrow = ; точки максимума графика есть ; точки минимума графика есть ; n ∈ Z.

Рис. 3.29

Ответ: X_0 = ; X^+ = ; X^- = ; X\uparrow = ; X\downarrow = ; точки максимума графика есть ; точки минимума есть ; n ∈ Z.

Seotud sisu
Muud tegevused