Символ arcsin m

Если дано некоторое значение m функции синус, то наверняка –1 ≤ m ≤ 1, так как множеством значений этой функции является отрезок [–1; 1]. Однако если мы захотим найти значение α, при котором sin α = m, то однозначно его найти нельзя: в силу периодичности множество тех точек, в которых функция принимает определенное значение, бесконечно. Найдем значение α из промежутка -\frac{\pi}{2}\le\mathrm{\alpha}\le\frac{\pi}{2}. В этом промежутке sin α принимает все возможные значения от –1 до 1 и притом каждое значение только по одному разу (см. график функции у = sin x, рис. 3.19). При этом промежуток -\frac{\pi}{2}\le\mathrm{\alpha}\le\frac{\pi}{2} мы выбираем потому, что в этом промежутке расположено наименьшее по модулю значение α, при котором sin α = m.

Угол α из промежутка \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right] такой, что sin α = m, обозначают символом arcsin m, читают: арксинус[cноска: От латинского слова arcus – дуга. Первоначально символ arcsin m означал именно дугу, синус которой равен m, в настоящее же время под этим понимают угол, синус которого равен m.] m.

arcsin[понятие: Арксинус, arcsin 𝑚 (arkussiinus, arcsin 𝑚) – наименьший по модулю угол, синус которого равен 𝑚.] m есть наименьший по модулю угол, синус которого равен m.

Из определения следует, что

sin (arcsin m) = m

и

-π2≤arcsin m≤π2.

Пример 1.

На основании последних соотношений можем записать:
​sin (arcsin 0,8) = 0,8, sin (arcsin (–0,406)) = –0,406.

Пример 2.

Найдем: 1) arcsin 0,5; 2) arcsin (–1).

  1. Так как arcsin 0,5 означает величину принадлежащего отрезку \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right] угла, синус которого равен 0,5, то \arcsin0,5=\frac{\pi}{6}, поскольку \sin\frac{\pi}{6}=0,5 и -\frac{\pi}{2}\le\frac{\pi}{6}\le\frac{\pi}{2}.
  2. Аналогично получим, что \arcsin\left(-1\right)=-\frac{\pi}{2}, поскольку \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1 и -\frac{\pi}{2}\le-\frac{\pi}{2}\le\frac{\pi}{2}.

Углы arcsin m можно выражать и в градусах. В этом случае в примере 2 получим, что arcsin 0,5 = 30° и arcsin (–1) = –90°.

Для вычисления значений arcsin m на калькуляторе есть клавиша arcsin или клавиша sin–1 , либо нужно использовать комбинацию клавиш arc sin или клавиш INV[cноска: INV – сокращение английского слова inverse – обратный.] sin. При этом калькулятор предварительно следует установить в требуемый режим работы: с радианами или же с градусами.

Пример 3.

Вычислим arcsin 0,3647.

В зависимости от типа калькулятора вычисления пойдут по одной из четырех схем: sin–1 0,3647 =, 0,3647 arcsin, 0,3647 sin–1, 0,3647 arc sin или 0,3647 INV sin.

После округления получим 0,3733.

Значит, arcsin 0,3647 ≈ 0,3733, иначе говоря, sin 0,3733 ≈ 0,3647.

Пример 4.

Найдем \cos\left(\arcsin\frac{2}{3}\right).

Сначала найдем с помощью калькулятора \arcsin\frac{2}{3}, а затем вычислим значение косинуса полученного результата (угла): cos (arcsin (2 : 3)) ≈ 0,7454.

Можно получить и точное значение. Так как арксинус есть некоторый угол, то обозначим \arcsin\frac{2}{3} символом α, т. е. \mathrm{\alpha}=\arcsin\frac{2}{3}. Тогда \sin\mathrm{\alpha}=\frac{2}{3}, и нам нужно найти \cos\mathrm{\alpha}. 

Поскольку -\frac{\pi}{2}\le\mathrm{\alpha}\le\frac{\pi}{2} и \sin\mathrm{\alpha}>0, то угол α расположен в I четверти и

\cos\left(\arcsin\frac{2}{3}\right) = \cos\mathrm{\alpha} = \sqrt{1-\sin^2\mathrm{\alpha}} = \sqrt{1-\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}.

Пример 5.

Найдем sin (π + arcsin 0,9).

Обозначим arcsin 0,9 = α. Тогда

sin (π + arcsin 0,9) = sin(π + α) = –sin α = –sin (arcsin 0,9) = –0,9.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения A

Задание 725.Нахождение значений  arcsin m

\arcsin\ 1 = 

\arcsin\ \frac{\sqrt{3}}{2} = 

\arcsin\ 0 = 

\arcsin\ 0,5 = 

\arcsin\ 0,5\sqrt{2} = 

\arcsin\ \left(-1\right) = 

\arcsin\ \left(-0,5\right) = 

\arcsin\ \left(-0,5\sqrt{3}\right) = 

\arcsin\ \left(-0,5\sqrt{2}\right) = 

Задание 726. Нахождение значений arcsin m

\arcsin0,5073 ≈  рад ≈ 

\arcsin2 ≈  рад ≈ 

\arcsin\left(-0,982\right) ≈  рад ≈ 

\arcsin0,0076 ≈  рад ≈ 

\arcsin0,42 ≈  рад ≈ 

\arcsin\left(-0,2072\right) ≈  рад ≈ 

Задание 727. Нахождение значений выражений

\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}+\arcsin\frac{1}{2} =  рад = 

\arcsin0,0227+\arcsin\left(-0,8908\right) =  рад = 

\arcsin1+\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} =  рад = 

\arcsin\left(-0,5\right)-\arcsin\left(-0,5\sqrt{2}\right) =  рад = 

Задание 728. Решение уравнений

\arcsin x=\frac{\pi}{3}
x = 

\arcsin x=\frac{\pi}{2}
x = 

\arcsin x=-0,7854
x ≈ 

\arcsin x=0,5236
x ≈ 

\arcsin\left(x+1,2\right)=-\frac{\pi}{2}
x = 

\arcsin\left(2x-3\right)=\frac{5\pi}{36}
x ≈ 

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения Б

Задание 729. Нахождение значений выражений

\sin\left(\arcsin0,5\right) = 

\sin\left(\arcsin\left(-1\right)\right) = 

\cos\left(\arcsin0,8\right) = 

\cos\left(\arcsin\left(-0,6\right)\right) = 

\cos\left(\arcsin5\right) = 

\tan\left(\arcsin0,7\right) = 

\sin\left(\pi-\arcsin0,21\right) = 

\cos\left(2\pi-\arcsin0,11\right) = 

\tan\left(\pi+\arcsin0,3\right) = 

\sin\left(2\arcsin0,16\right) = 

Seotud sisu
Muud tegevused