Символ arctan m

Если tan α = m и искомый угол α ищется в промежутке -\frac{\pi}{2}<\mathrm{\alpha}<\frac{\pi}{2} (см. график функции y = tan x, рис. 3.26), то этот угол находится однозначно и обозначается символом α = arctan m (читают: арктангенс m). Таким образом,

arctan[понятие: Арктангенс, arctan 𝑚 (arkus­tangens, arctan 𝑚) – наименьший по модулю угол, тангенс которого равен 𝑚.] m есть наименьший по модулю угол, тангенс которого равен m.

Из определения следует, что

tan (arctan m) = m

и

-π2<arctan m<π2.

Имеет место свойство: arctan (–m) = – arctan m.

Пример 1.

В силу определения, \tan\left(\arctan\left(-10\right)\right)=-10 и \arctan1=\frac{\pi}{4}, поскольку \tan\frac{\pi}{4}=1 и -\frac{\pi}{2}<\frac{\pi}{4}<\frac{\pi}{2}.

Для вычисления значений arctan m на калькуляторе используется одна из клавиш arctan, arctg или tan–1, tg–1, либо нужно пользоваться комбинацией клавиш arc tan или INV tan. В остальном вычисления аналогичны случаям вычисления arcsin m и arccos m.

Пример 2.

Убедитесь с помощью калькулятора, что arctan 12,03 ≈1,4879. В градусной мере получим, что arctan 12,03 ≈ 85°14'53''.

Пример 3.

Вычислим sin (arctan (–3)).

С помощью калькулятора найдем угол arctan(–3) и затем синус найденного угла: sin(arctan(–3)) ≈ 0,9487.

Если же требуется найти точное значение, то, обозначив arctan (–3) = α, получим, что tan α = –3 и нужно найти sin α. Выразим sin α через tan α:

1+\tan^2\mathrm{\alpha}=\frac{1}{\cos^2\mathrm{\alpha}} ⇒ \cos^2\mathrm{\alpha}=\frac{1}{1+\tan^2\mathrm{\alpha}} ⇒ 1-\sin^2\mathrm{\alpha}=\frac{1}{1+\tan^2\mathrm{\alpha}} ⇒ \sin^2\mathrm{\alpha}=\frac{\tan^2\mathrm{\alpha}}{1+\tan^2\mathrm{\alpha}}.

Так как \tan\mathrm{\alpha}=-3<0 и -\frac{\pi}{2}<\mathrm{\alpha}<\frac{\pi}{2}, то угол α расположен в IV четверти и sin α < 0. Значит,

\sin\mathrm{\alpha}=-\sqrt{\frac{\left(-3\right)^2}{1+\left(-3\right)^2}}=\frac{-3}{\sqrt{10}}=-0,3\sqrt{10} ⇒ \sin\left(\arctan\left(-3\right)\right)=-0,3\sqrt{10}.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения A

Задание 733. Нахождение значений arctan m

\arctan1 = 

\arctan\sqrt{3} = 

\arctan0 = 

\arctan2,65 = 

\arctan0,04 = 

\arctan99 = 

\arctan\left(-\sqrt{3}\right) = 

\arctan\left(-8,3\right) = 

Задание 734. Решение уравнений

\arctan x=\frac{\pi}{6}
x = 

\arctan x=\frac{\pi}{4}
x = 

\arctan x=\frac{\pi}{2}
x = 

\arctan x=0
x = 

\arctan x=-1,55
x = 

\arctan x=-0,0421
x = 

\arctan\left(x-4\right)=0
x = 

\arctan\left(4-x\right)=3
x = 

\arctan\left(5x+2,8\right)=1
x = 

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения Б

Задание 735. Нахождение значений выражений

\tan\left(\arctan36,7\right) = 

\cos\left(\arctan7\right) = 

\cos\left(\arctan\left(-2\right)\right) = 

\sin\left(\arctan\left(-8\right)\right) = 

\tan\left(2\arctan4\right) = 

\tan\left(\pi-\arctan13\right) = 

Seotud sisu
Muud tegevused