Решение уравнения sin x = m

Уравнение sin x = m имеет решения тогда и только тогда, когда |m| ≤ 1, поскольку –1 ≤ sin x ≤ 1.

В разделе 3.16 из равенства sin x = m мы нашли только наименьший по абсолютной величине угол arcsin m, синус которого равен m. В этом разделе мы поставим задачу найти все корни уравнения sin x = m.

Графически решить уравнение sin x = m – это значит найти абсциссы всех точек пересечения линий y = sin x и y = m. На рисунке 3.30 видно, что таких абсцисс бесконечно много (абсциссы точек …, A1, A2, A3, …).

Рис. 3.30

Одним из корней уравнения sin x = m является угол α = arcsin m, где -\frac{\pi}{2}\le\mathrm{\alpha}\le\frac{\pi}{2}. Так как при добавлении числа вида k · 2π значение функции синус не меняется, то корнями уравнения sin x = m являются все углы

x_1=\mathrm{\alpha}+k\cdot2\pi, где k ∈ Z

(на рисунке 3.30 это углы α – 2π, α, α + 2π).

Углами вида α + 2kπ, где k ∈ Z, не исчерпываются все корни уравнения sin x = m. Угол π – α также является корнем этого уравнения, поскольку sin (π – α) = sin α = m. 

Добавив к углу π – α все углы, кратные периоду 2π, получим, что корнями уравнения sin x = m являются также

x_2=\left(\pi-\mathrm{\alpha}\right)+k\cdot2\pi=-\mathrm{\alpha}+\left(2k+1\right)\pi, где k ∈ Z

(на рисунке 3.30 это углы –α – 3π, –α – π, π – α, 3π – α).

На рисунке 3.30 видно, что других корней у этого уравнения нет. Полученные решения уравнения sin x = m можно объединить в так называемое общее решение[понятие: Общее решение (üldldhend) – такое выражение, из которого можно выразить все решения (корни) рассматриваемого уравнения (и только их). Обычно содержит параметр, при каждом конкретном значении которого получается частное решение уравнения.] в виде

x = (–1)narcsin m + nπ, где n ∈ Z.

Если выразить корни уравнения sin x = m в градусной мере, то общее решение можно записать в виде

x = (–1)narcsin m + n · 180°, где n ∈ Z.

Придавая n конкретное целочисленное значение, получим из общего решения конкретный корень уравнения sin x = m, так называемое частное решение[понятие: Частное решение (erilahend) – для тригонометрического уравнения – решение, получающееся из формулы общего решения при конкретном целочисленном значении 𝑛.].

Пример 1.

Решим уравнения: 1) sin x = 0; 2) sin x = 0,6428; 3) sin x = –0,5526.

  1. Так как arcsin 0 = 0 (рад), то x = (–1)n ⋅ 0 + nπ, или x = nπ, где n ∈ Z.
  2. Значению синуса 0,6428 соответствует угол arcsin 0,6428 = 40°3'. Поэтому решение уравнения sin x = 0,6428 выразится в виде x = (–1)n ⋅ 40°3' + n ⋅ 180°, где n ∈ Z.
  3. Поскольку sin (–33°32'44'') ≈ –0,5526, то общим решением будет x = (–1)n (–33°32'44'') + n ⋅ 180° или x = (–1)n+133°32'44'' + n ⋅ 180°, где n ∈ Z.

Найденные корни тригонометрических уравнений следует, как правило, проверить, поскольку при решении таких уравнений могут возникать посторонние корни[понятие: Посторонний корень (võõrlahend) – корень уравнения (решение неравенства), полученный при решении уравнения, полученного в результате преобразования исходного уравнения (неравенства) и не являющийся корнем (решением) исходного уравнения (неравенства).].

При проверке общего решения достаточно ограничиться проверкой тех углов, которые получаются из общего решения соответственно при n = 0 и n = 1. В случае, когда решение записывается в виде двух серий х1 и х2, проверку производят в обеих сериях для случая n = 0.

Пример 2.

Решим уравнение \sin^2x-\frac{3}{5}\sin x-\frac{2}{5}=0.

В § 3.19 мы заметили, что это уравнение сводится к решению двух основных тригонометрических уравнений sin x = 1 и sin x = –0,4.

Так как arcsin 1 = 90°, то общим решением уравнения

\sin x=1 будет x_1=\left(-1\right)^n90\degree+n\cdot180\degree.

Общее решение уравнения sin x = –0,4, вычислив arcsin (–0,4) = –23°34'41'', получим в виде

x_2=\left(-1\right)^n\left(-23\degree34'41''\right)+n\cdot180\degree, или x_2=\left(-1\right)^{n+1}23\degree34'41''+n\cdot180\degree.

Сделаем проверку. Решив уравнение \sin^2x-\frac{3}{5}\sin x-\frac{2}{5}=0 мы получили, что

x_1=\left(-1\right)^n90\degree+n\cdot180\degree и x_2=\left(-1\right)^{n+1}23\degree34'41''+n\cdot180\degree x, где n ∈ Z.

Взяв n = 0 и n = 1, получим из общего решения единственное значение x1 = 90°, а для x2 получим два значения: –23°34′41″ и 203°34′41″. Все эти значения удовлетворяют исходному уравнению:

\sin^290\degree-\frac{3}{5}\sin90\degree-\frac{2}{5} = 1-\frac{3}{5}-\frac{2}{5} = 0;

\sin^2\left(-23\degree34'41''\right)-\frac{3}{5}\left(-23\degree34'41''\right)-\frac{2}{5} = \left(-0,4\right)^2-\frac{3}{5}\cdot\left(-0,4\right)-\frac{2}{5} = 0;

\sin^2203\degree34'41''-\frac{3}{5}\sin203\degree34'41''-\frac{2}{5} = \left(-\sin23\degree34'41''\right)^2+\frac{3}{5}\sin23\degree34'41''-\frac{2}{5} = 0.

Таким образом, решения данного уравнения x_1=\left(-1\right)^n90\degree+n\cdot180\degree и x_2=\left(-1\right)^{n+1}23\degree34'41''+n\cdot180\degree, где n ∈ Z.

Пример 3.

Решим уравнение \sin\left(4x+2\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Сделаем замену переменной 4x + 2 = u. Получим \sin u=\frac{\sqrt{3}}{2}, откуда u=\left(-1\right)^n\frac{\pi}{3}+n\pi. Возвращаясь к переменной x, получим соотношение 4x+2=\left(-1\right)^n\frac{\pi}{3}+n\pi.

Отсюда x=-\frac{1}{2}+\left(-1\right)^n\frac{\pi}{12}+n\cdot\frac{\pi}{4}, где n ∈ Z.

Проверка.

Если n=0, то x=-\frac{1}{2}+\frac{\pi}{12}, если же n=1, то x=-\frac{1}{2}-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=-\frac{1}{2}+\frac{\pi}{6}. Поэтому проверку достаточно сделать для углов x=-\frac{1}{2}+\frac{\pi}{12} и x=-\frac{1}{2}+\frac{\pi}{6}. Получим:

\sin\left[4\cdot\left(-\frac{1}{2}+\frac{\pi}{12}\right)+2\right] = \sin\left(-2+\frac{\pi}{3}+2\right) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2},

\sin\left[4\cdot\left(-\frac{1}{2}+\frac{\pi}{6}\right)+2\right] = \sin\left(-2+\frac{2\pi}{3}+2\right) = \sin\frac{2\pi}{3} = \sin\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Ответ: x=-\frac{1}{2}+\left(-1\right)^n\frac{\pi}{12}+n\cdot\frac{\pi}{4}, где n ∈ Z.

Как мы уже убедились, для решения тригонометрических уравнений нет универсального метода. Существует много различных способов решения, из которых в каждом конкретном случае нужно выбрать подходящий. Нередко одно и то же уравнение можно решить несколькими способами.

Пример 4.

Решим уравнение \sin x-\sqrt{3}\cos x=0.

При решении тригонометрических уравнений, как правило, рекомендуется перейти к одной тригонометрической функции. Это можно сделать, например, с помощью основной формулы тригонометрии \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1, но при этом в уравнении необходимо сначала получить нужные квадраты выражений.

Запишем данное уравнение в виде \sin x=\sqrt{3}\cos x и возведем в квадрат обе его части. Получим: \sin^2x=3\cos^2x, или \sin^2x=3\left(1-\sin^2x\right), откуда 4\sin^2x=3 и \sin x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}. Общими решениями полученных элементарных уравнений \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2} и \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2} являются соответственно

x_1=\left(-1\right)^n\frac{\pi}{3}+n\pi и x_2=\left(-1\right)^{n+1}\frac{\pi}{3}+n\pi, n ∈ Z.

Проверка. Если n = 0, то для х1 получим значение \frac{\pi}{3}=60\degree; если n = 1, то получим \frac{2\pi}{3}=120\degree. Первое значение является корнем уравнения, а второе – нет:

\sin60\degree-\sqrt{3}\cos60\degree = \frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2} = 0;

\sin120\degree-\sqrt{3}\cos120\degree = \frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2} ≠ 0.

Поэтому из выражения для х1 нужно исключить посторонние корни. Поскольку верный корень был получен при n = 0, что является частным случаем четного n, то корнями являются все значения х1, для которых n = 2k, k ∈ Z, т. е. x_1=\frac{\pi}{3}+2k\pi, k ∈ Z.

Из выражения для х2 получим при n = 0 значение -\frac{\pi}{3}, а при n = 1 – значение \frac{4\pi}{3}. Первое из этих значений является посторонним корнем, а второе – корнем уравнения. Поэтому в выражении для х2 нужно взять только те значения, которые соответствуют нечетным значениям n, т. е. n = 2k +1. Получим: 

x_2=\frac{\pi}{3}+\left(2k+1\right)\pi, или x_2=\frac{4\pi}{3}+2k\pi, k ∈ Z.

Ответ: x_1=\frac{\pi}{3}+2k\pi и x_2=\frac{4\pi}{3}+2k\pi, k ∈ Z.

Пример 5.

Уравнение sin x – cos x = 1 можно также решить путем возведения обеих частей в квадрат.

Тогда \sin^2x-2\sin x\cos x+\cos^2x=1, откуда 2\sin x\cos x=0, или sin 2x = 0. Отсюда (можно предварительно сделать и замену переменной 2x = u) получим, что 2x = (–1)n ⋅ 0 + nπ, следовательно, x=n\cdot\frac{\pi}{2}, или x = n ⋅ 90°.

Проверку нужно сделать для углов 0° (если n = 0), 90° (если n = 1), 180° (если n = 2) и 270° (если n = 3). Углы 0° и 270° являются посторонними корнями, а углы 90° и 180° являются корнями.

Решения получим:

x_1=\frac{\pi}{2}+2k\pi и x_2=\pi+2k\pi, k ∈ Z.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения A

Задание 738. Решение уравнения sin x = m

\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}
x = , n ∈ Z.

\sin x=-\frac{1}{2}
x = , n ∈ Z.

\sin x=0,7808
x ≈ , n ∈ Z.

\sin x=-0,362
x ≈ , n ∈ Z.

3\sin x=2,1
x ≈ , n ∈ Z.

-2\sin x=4,6
x ≈ , n ∈ Z.

\sin3x=0
x = , n ∈ Z.

\sin x=0
x = , n ∈ Z.

2\sin x+0,0036=0
x ≈ , n ∈ Z.

\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=0
x = , n ∈ Z.

Задание 739. Решение тригонометрических уравнений

3\sin^2x+4\sin x=0
sin x = , sin x = 
x = , n ∈ Z.

\sin^2x+2\sin x-3=0
sin x = , sin x = 
x = , n ∈ Z.

\sin^3x\ =27
sin x = 
x = , n ∈ Z.

\sin^3x\ =-0,008
sin x = 
x ≈ , n ∈ Z.

3\cos^2x+4\sin x=0
sin x = , sin x = 
x ≈ , n ∈ Z.

\sin^22x-1,35\sin2x+0,35\ =0
sin 2x = , sin 2x = 
x1 = , x2 = , n ∈ Z.

Задание 740. Решение тригонометрического уравнения

\sin x\cos x=0
x = , n ∈ Z.

\sin\left(x+60\degree\right)+\sin\left(x-60\degree\right)=0
sin x = 
x = , n ∈ Z.

Задание 741. Нули функции

y=\sin x-1
x = , n ∈ Z.

y=\sin x+0,7
x ≈ , n ∈ Z.

y=2\sin x-0,88
x ≈ , n ∈ Z.

y=3\sin2x-0,771
x ≈ , n ∈ Z.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения Б

Задание 742. Решение тригонометрических уравнений

\sin x+0,8=0
x ≈ , n ∈ Z.

2+\sin x=0
x ≈ , n ∈ Z.

\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=-1
x ≈ , n ∈ Z.

\sin\left(\frac{2}{3}x+1\right)=1
x ≈ , n ∈ Z.

5\sin^3x-23\sin^2x-10\sin x=0
x1 = , x2 = , n ∈ Z.

2\sin^3x=\sin^2x
x1 ≈ , x2 = , n ∈ Z.

\frac{1-\cos4x}{2\sin2x}=1
x = , n ∈ Z.

\frac{\sin3x-\sin x}{\cos2x}=1
x = , n ∈ Z.

Seotud sisu
Muud tegevused