Решение уравнения cos x = m

Уравнение cos x = m имеет решения тогда и только тогда, когда |m| ≤ 1, поскольку множеством значений функции y = cos x, x ∈ R, является отрезок [–1; 1].

Вывод формулы общего решения уравнения cos x = m аналогичен случаю уравнения sin x = m. Воспользуемся рисунком 3.31, с помощью которого найдем абсциссы всех точек …, A1, A3, A5, A7, … , а затем точек ..., А2, А4, А6, А8, ... пересечения линий y = cos x и y = m. Одним из корней уравнения является угол α = arccos m (0 ≤ α ≤ π). Добавив к углу α все кратные периоду функции косинус, получим две серии решений

x_1=\mathrm{\alpha}+2k\pi, x_2=-\mathrm{\alpha}+2k\pi, где k ∈ Z и \mathrm{\alpha}=\arccos m.

Рис. 3.31

Полученные две формулы можно записать и в виде общего решения:

x = ± arccos m + 2nπ, где n ∈ Z.

Если корни уравнения cos x = m выражать в градусной мере, то общее решение будет иметь вид

x = ± arccos m + n · 360°, где n ∈ Z.

Проверку достаточно сделать только для углов α и –α, которые получаются из общего решения при n = 0.

Пример 1.

Для уравнения cos x = 0,5 найдем его общее решение, а также корни, принадлежащие отрезку [–2π; 2π].

Поскольку \arccos0,5=\frac{\pi}{3}, то общим решением уравнения является x=\pm\frac{\pi}{3}+2n\pi, n ∈ Z. Нетрудно убедиться, что посторонних корней нет.

Найдем корни, принадлежащие отрезку [–2π; 2π]. Если n = 0, то x=\pm\frac{\pi}{3}, и эти корни принадлежат рассматриваемому промежутку. Если n = 1, то корень x=\frac{7\pi}{3} не принадлежит отрезку [–2π; 2π], а корень x=\frac{5\pi}{3} принадлежит. При n = –1 получим корни x=-\frac{5\pi}{3} (принадлежит отрезку) и x=-\frac{7\pi}{3} (не принадлежит). 

Искомые частные решения есть x_1=-\frac{5\pi}{3}, x_2=-\frac{\pi}{3}, x_3=\frac{\pi}{3}, x_4=\frac{5\pi}{3}.

Пример 2.

Решим уравнение sin x + cos 2x = 0.

Перейдем к однократному углу х и затем к одной тригонометрической функции:

\sin x+\cos^2x-\sin^2x=0,

\sin x+\left(1-\sin^2x\right)-\sin^2x=0,

2\sin^2x-\sin x-1=0.

В результате получим квадратное уравнение относительно sin x, из которого найдем

\sin x=1 и \sin x=-0,5.

Решив эти основные уравнения, получим:

x_1=\left(-1\right)^n\frac{\pi}{2}+n\pi и x_2=\left(-1\right)^{n+1}\frac{\pi}{6}+n\pi, где n ∈ Z.

Нетрудно убедиться, что углы \frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{6} и \frac{7\pi}{6}, получающиеся из общего решения при n = 0 и n = 1, удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: x_1=\left(-1\right)^n\frac{\pi}{2}+n\pi,   x_2=\left(-1\right)^{n+1}\frac{\pi}{6}+n\pi, где n ∈ Z.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения A

Задание 743. Решение уравнения cos x = m

\cos x=\frac{1}{2}
x = 

\cos x=-\frac{1}{2}
x = 

\cos x=0
x = 

2\cos x=3,7
x ≈ 

\cos x=0,06543
x ≈ 

4\cos x-1,24=0
x ≈ 

Задание 744. Нули функции

y=\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2}
x = 

y=\cos x+7
x = 

y=-3\cos x-0,94
x ≈ 

y=2-4\cos x
x = 

Задание 745. Решение тригонометрических уравнений

3\cos2x=0, \left[0;\ 2\pi\right]
x = , n ∈ Z.
x1 = , x2 = , x3 = , x4 = 

5+\cos x=4\cos x-7
x = , n ∈ Z.

\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=-1, \left(-\pi;\ \pi\right)
x = , n ∈ Z.
x1 = 

\sqrt{2}\sin^2x+\cos x=0
x = , n ∈ Z.

2\cos8x=1, \left(-\pi;\ \pi\right)
x = , n ∈ Z.
x1 = ±, x2 = ±, x3 = ±, x4 = ±, x5 = ±, x6 = ±, x7 = ±, x8 = ±

2\cos^2x-5\cos x-3=0
x = , n ∈ Z.

\cos^3x=0,512, \left[0;\ 3\pi\right]
x ≈ , n ∈ Z.
x1 ≈ , x2 ≈ , x3 ≈ 

\cos^2x+3\cos x=0
x = , n ∈ Z.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения Б

Задание 746. Нули функции

y=2\left(\cos x+0,035\right); -3\pi\le x\le3\pi
x ≈ , n ∈ Z.
Нули в порядке возрастания:
x1 ≈ , x2 ≈ , x3 ≈ , x4 ≈ , x5 ≈ , x6 ≈ 

y=\frac{5}{7}\cos x-\frac{4}{9}; 0\le x\le6\pi
x ≈ , n ∈ Z.
Нули в порядке возрастания:
x1 ≈ , x2 ≈ , x3 ≈ , x4 ≈ , x5 ≈ , x6 ≈ 

Задание 747. Решение тригонометрического уравнения

\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)+\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=0
cos x = 
x = , n ∈ Z.

\sin x+\cos\left(90\degree-2x\right)=0
sin x = , cos x = 
x1 = , x2 = , n ∈ Z.

\sin x+\cos x=0
\cos() = 0
x = , n ∈ Z.

\sin x+\tan x=0
sin x = , cos x = 
x1 = , x2 = , n ∈ Z.

Задание 748. Решение тригонометрических уравнений

\sin3x\cos2x-\cos3x\sin2x=0
 = 0
x = , n ∈ Z.

\cos2x\cos x-\sin2x\sin x=0
 = 0
x = , n ∈ Z.

\sin3x\sin2x=\cos3x\cos2x
 = 0
x = , n ∈ Z.

\sin\left(360\degree-x\right)+\cos\left(90\degree+x\right)=2
sin x = 
x = , n ∈ Z.

\sin x\cos x=0,5
sin 2x = 
x = , n ∈ Z.

\sin2x\tan x=1
sin x = , sin x = 
x1 = , x2 = , n ∈ Z.

Seotud sisu
Muud tegevused