Решение уравнения tan x = m

Одним из корней уравнения \tan x=m является угол \mathrm{\alpha}=\arctan m (рис. 3.32). Так как в интервале \left(-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right) нет других корней этого уравнения и функция y = tan x имеет период π, то все корни уравнения tan x = m при любом заданном действительном числе m выражаются с помощью формулы общего решения:

x = arctan m + nπ, где n ∈ Z.

Рис. 3.32

В градусных величинах общее решение записывается в виде

x = arctan m + n · 180°, где n ∈ Z.

Пример 1.

Решим уравнение tan x = –1.

Поскольку \arctan\left(-1\right)=-\frac{\pi}{4}, то общим решением будет x=-\frac{\pi}{4}+n\pi, где n ∈ Z.

Если общее решение выражается в виде x = arctan m + nπ, n ∈ Z, то при проверке достаточно убедиться, что исходному уравнению удовлетворяет корень, получающийся из формулы общего решения при n = 0.

Пример 2.

Найдем нули функции y = tan x – sin x.

Требуется решить уравнение tan x – sin x = 0. Сделаем это следующим образом:

\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x=0 ⇒ \frac{\sin x-\sin x\cdot\cos x}{\cos x}=0 ⇒ \sin x\left(1-\cos x\right)=0.

Получаем два уравнения: 1) \sin x=0, откуда x_1=\left(-1\right)^n\cdot0+n\pi, или x_1=n\pi; 2) 1-\cos x=0, откуда \cos x=1 и x_2=2n\pi. Проверка показывает, что все эти решения удовлетворяют данному уравнению. Но так как решение x_1=n\pi, n ∈ Z, содержит и все корни второй серии, то нули функции y = tan x – sin x можно представить в виде x=n\pi, n ∈ Z.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения A

Задание  749. Решение тригонометрических уравнений

\tan x=0,998
x ≈ , n ∈ Z.

\tan x=9, \left[-\pi;\ \pi\right]
x ≈ , n ∈ Z.
x1 ≈ , x2 ≈ 

\tan x=-2,0036, \left[-2\pi;\ 2\pi\right]
x ≈ , n ∈ Z.
x1 ≈ , x2 ≈ , x3 ≈ , x4 ≈ 

3\tan x=4\tan^2x, \left[-\pi;\ \pi\right]
x1 = , x2 ≈ , n ∈ Z.
x1 = , x2 = , x3 = , x4 = , x5 = 

\tan^2x+3=2\sqrt{3}\tan x, \left(-1,5\pi;\ 1,5\pi\right)
x = , n ∈ Z.
x1 = , x2 = , x3 = 

2\tan^2x+3\tan x+1=0
tan x = , tan x = 
x1 = , x2 = , n ∈ Z.

Задание 750. Нули функции

y=\tan2x
x = , n ∈ Z.

y=\tan x-1
x = , n ∈ Z.

y=\tan4x-\sqrt{3}, \left[-\pi;\ \pi\right]
x = , n ∈ Z.
Нули в порядке возрастания:
x1 = , x2 = , x3 = , x4 = , x5 = , x6 = , x7 = , x8 = 

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения Б

Задание 751. Решение тригонометрического уравнения

\tan\frac{2}{3}x-\tan\frac{x}{3}=0
x = , n ∈ Z.
x1 = , x2 = 

Задание 752. Нули функции

y=\sqrt{3}\tan4x-1

x = , n ∈ Z.

y=\sqrt{3}+\tan\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)

x = , n ∈ Z.

y=\tan^2x-\sin^2x

x = , n ∈ Z.

Seotud sisu
Muud tegevused