Предел функции

Рассмотрим функцию

y=\frac{x^2+x-2}{x+2}.

Областью определения этой функции является множество всех действительных чисел, за исключением значения х = –2, так как в этой точке значение функции не существует (деление на 0 невозможно). Поэтому на графике функции располагаются точки с любыми абсциссами, кроме точки с абсциссой х = –2.

Составим таблицу значений функции и построим ее график по точкам. Графиком оказывается прямая, из которой „выколота” одна точка (рис. 4.1, а или 4.1, б). Эта точка обозначена в виде маленького кружка, т. е. как „пустая” точка (рис. 4.1, а), или с помощью двух стрелок, острия которых оканчиваются в этой точке (рис. 4.1, б).

Рис. 4.1

Графиком функции действительно является прямая: при x ≠ –2 выполнены равенства

\frac{x^2+x-2}{x+2} = \frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{x+2} = x-1.

Таким образом, функции

y=\frac{x^2+x-2}{x+2}, где x ∈ R, x ≠ –2,   (1)

и

y = x – 1, где x ∈ R,   (2)

отличаются только одной точкой области определения x = –2. Поэтому и графики этих функций совпадают, за исключением точки с абсциссой x = –2.

Выясним, как функция

y=\frac{x^2+x-2}{x+2}

ведет себя в окрестности точки x = –2. Для этого будем придавать аргументу значения, все более близкие к числу –2, т. е. рассмотрим последовательность значений аргумента x, пределом которой является число –2. Найдем также последовательность соответствующих значений функции и получим:

x: –2,1; –2,01; –2,001; –2,0001; –2,00001; … → –2.

y: –3,1; –3,01; –3,001; –3,0001; –3,00001; … → –3.

Из второй строки видно, что значения функции при этом неограниченно приближаются к числу –3, т. е. число –3 является пределом последовательности соответствующих значений функции.

Докажем теперь строго, что при любой последовательности x_n, значений аргумента, такой что $$ \underset{n\to \infty }{\text{lim}}{x}_n=-2$$ и x_n ≠ –2, для соответствующей последовательности y_n = f(x_n) значений данной функции выполнено соотношение 

$$ \underset{n\to \infty }{\lim }f\left(x_n\right)=-3$$, или $$ \underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=-3$$.

Действительно, как мы уже заметили, при x ≠ –2 для нашей функции выполнено равенство y = x – 1 и потому y_n = x_n – 1. Значит, по свойствам предела (см. § 2.4.2), получим:

$$ \underset{n\to \infty }{\text{lim}}{y}_n$$ = $$ \underset{n\to \infty }{\text{lim}}(x_n-1)$$ = $$ \underset{n\to \infty }{\text{lim}}{x}_n-\underset{n\to \infty }{\text{lim}}1$$ = $$ -2-1$$ = $$ -3$$.

Таким образом, мы доказали, что

если x\to-2, то y\to-3, или \frac{x^2+x-2}{x+2}\to-3.

В рассмотренном примере естественно сказать, что число –3 является пределом функции $$ \mathit{y}\mathbf{=}\frac{{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{2}}{\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{2}}$$ при х → –2, что записывается следующим образом:

 $$ \underset{x\to -2}{\text{lim}}\frac{x^2 + x - 2}{x + 2}=-3$$.

Это равенство читается:

предел \frac{x^2+x-2}{x+2} при х, стремящемся к –2 (или в точке –2), равен –3.

Проведенные рассуждения являются основой для общего определения предела функции.

В символической записи:

или

В определении предела функции содержится условие „для любой последовательности значений аргумента (х_n) такой, что $\[ \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n \]$ = а”. Поясним на примере, что это условие является необходимым. Для этого рассмотрим вопрос о существовании предела функции

y=\cos\frac{1}{x}

при х → 0, т. е. в точке x = 0. Эта функция определена на всей числовой прямой, за исключением точки x = 0. Покажем, что данная функция не имеет предела при х → 0. Для этого рассмотрим две конкретные последовательности значений аргумента, имеющие пределом число 0. В качестве первой такой последовательности возьмем последовательность

\frac{1}{2\pi}, \frac{1}{4\pi}, \frac{1}{6\pi}, \frac{1}{8\pi}, … → 0.

Соответствующая последовательность значений функции есть

\cos2\pi, \cos4\pi, \cos6\pi, \cos8\pi, …,

или

1, 1, 1, 1, … → 1.

Теперь возьмем последовательность значений аргумента

\frac{1}{\pi}, \frac{1}{3\pi}, \frac{1}{5\pi}, \frac{1}{7\pi}, … → 0.

Для этой последовательности соответствующая последовательность значений функции есть

\cos\pi, \cos3\pi, \cos5\pi, \cos7\pi, …,

или

–1, –1, –1, –1, … → –1.

Таким образом, для различных последовательностей х_n → 0 получаются различные значения предела $$ \underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)$$. Поэтому функция y=\cos\frac{1}{x} не имеет предела в точке 0.

* Замечание. Условие х ≠ а, содержащееся в данном определении, в примерах школьной математики не играет существенной роли (оно бывает нужным при исследовании более специфических функций) и его можно и не упоминать. Хотя в первом из приведенных выше рассуждений мы взяли последовательность x_n → –2, x_n ≠ –2, но условие x_n ≠ –2 в данном случае подразумевается выражением «последовательность значений аргумента», так как число –2 не принадлежит области определения функции, т. е. не является значением аргумента. *

Напомним, что в случае показательной функции y = a^x, где 0 < a < 1 (или a > 1), при неограниченном увеличении (уменьшении) значений аргумента значения функции неограниченно приближаются к нулю (§ 3.3, свойство 6). Если обозначить неограниченное увеличение аргумента символом x\to∞, а неограниченное уменьшение аргумента (при этом |х| → ∞) – символом x\to-∞, то можно записать:

если 0 < a < 1, то $$ \underset{x\to -\infty }{\text{lim}}{a}^x=0$$ и $$ \underset{x\to \infty }{\text{lim}}{a}^x=\infty $$;

если a < 1, то $$ \underset{x\to -\infty }{\text{lim}}{a}^x=\infty $$ и $$ \underset{x\to \infty }{\text{lim}}{a}^x=0$$.

Символ ∞ не является обозначением числа. Запись x\to∞ означает лишь, что значения переменной х неограниченно увеличиваются и становятся больше любого наперед заданного числа (мы неограниченно продвигаемся по оси абсцисс вправо). Запись x\to-∞ означает, что значения x неограниченно уменьшаются (при этом их модули неограниченно увеличиваются, этому соответствует неограниченное продвижение по оси абсцисс влево).

Если функция y = f (x) в некотором предельном процессе (например, при x\to∞) неограниченно возрастает или неограниченно убывает, то также естественно записать, что f\left(x\right)\to∞ или f\left(x\right)\to-∞. По соглашению знаком предела lim пользуются и в подобных случаях, хотя предел (как число) отсутствует.

Впрочем, часто читают: значения функции стремятся к бесконечности или даже предел функции равен бесконечности.

* Если $$ \underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)=A$$, т. е. f\left(x\right)\to A при x\to a, то величина f\left(x\right)-A\to0 при x\to a. Поэтому если $$ \underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)=A$$, то f(x) – A есть бесконечно малая величина при х → а.

В этом можно убедиться и на примере.