Непрерывность функции

Пусть дана функция y = f (x) и пусть точка а принадлежит области опре­деления этой функции. Если выполнено равенство

$$ \underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)=f\left(a\right)$$,

то функция f называется непрерывной[понятие: Непрерывная функция (pidev funktsioon) – функция 𝑦 = 𝑓 (𝑥) называется непрерывной в точке 𝑥 = 𝑎, если при 𝑥 → 𝑎 предел функции в точке 𝑎 равен значению функции в этой точке.] в точке а. Таким образом, функция непрерывна в точке а, если существуют значение f(a) и предел $$ \underset{x\to a}{\text{lim}}f\left(x\right)$$ и эти величины равны между собой.

Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что эта функция непрерывна на данном промежутке[понятие: Непрерывность функции на промежутке (funktsiooni pidevus vahemikus) – есть непрерывность функции в каждой точке данного промежутка.].

Графически непрерывность функции на некотором промежутке числовой прямой можно представить себе так: график функции является непрерывной линией, которую можно нарисовать „одним росчерком”, не отрывая карандаша от бумаги. Так можно, к примеру, нарисовать часть графика функции y = sin x, соответствующую некоторому промежутку. Следовательно, функция y = sin x непрерывна на всей области определения, т. е. на множестве R.

Если функция y = f (x) не является непрерывной в точке a, но определена в некоторой окрестности (а – ε; а + ε) точки а, за исключением, быть может, самой этой точки, то говорят, что данная функция разрывна[понятие: Разрывная в точке функция (antud kohal katkev funktsioon) – если функция не является непрерывной в точке 𝑎, но определена в некоторой окрестности этой точки, за исключением, быть может, самой этой точки, то говорят, что данная функция разрывна (или имеет разрыв) в точке 𝑎.] (или имеет разрыв) в точке а. Точка а называется в этом случае точкой разрыва функции[понятие: Точка разрыва функции (funktsiooni katkevuskoht) – точка, в которой функция имеет разрыв (разрывна).]. Часто встречающимся случаем точки разрыва является такой, когда функция не определена в точке а, хотя и определена слева и справа от этой точки.

Так, в случае последнего примера (рис. 4.1) графиком функции является прямая y = x – 1, из которой выколота точка (–2; –3).

* ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ НЕПРЕРЫВНОСТЬ.

К основным элементарным функциям относятся уже изученные нами семь функций[cноска: Список основных элементарных функций включает в себя еще несколько функций, которые мы здесь не рассматриваем.]:

1. постоянная функция у = с;
2. степенная функция у = х^а;
3. показательная функция у = а^х, где а > 0, а ≠ 1;
4. логарифмическая функция у = log_а х, где а > 0, а ≠ 1;
5. функция у = sin х;
6. функция у = cos х;
7. функция у = tan х.

Вспоминая изученное нами относительно этих функций и их графики, мы можем сделать следующее важное заключение:

Значит, если y = f(x) – элементарная функция и точка а принадлежит области определения функции, т. е. можно вычислить f(a), то функция f непрерывна в точке а. При этом предел функции может быть вычислен совсем просто: $$ \underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a).$$*